Как пишется слово?
Как определить в каком случае писать Похоже, а в каком Похожи?
Приведите примеры.

Написать можно и с буквой е, и с буквой и на конце. А зависит это от частеречной принадлежности слова, причём буковка и на конце пишется только в одной части речи, а вот написание с е характерно для нескольких омоформ – грамматических омонимов, слов разных частей речи, совпавших в написании в каких-то формах.
Итак, определим, возможную принадлежность слов похожи и похоже к известным нам частям речи и приведём примеры их употребления в предложениях.
Есть качественное прилагательное похожий, изменяющееся по родам, падежам и числам и имеющее краткие формы, в единственном числе относящиеся ко всем родам. Среди кратких форм прилагательного похожий – форма среднего рода единственного числа похоже и форма множественного числа похожи. Они, соответственно, имеют окончания -е, -и. И как части речи, и как члены предложения (сказуемые, составные именные, основные части этого вида сказуемых, при подлежащих, выраженных существительными или местоимениями-сущест�вительными) эти формы отвечают на вопросы каково? и каковы?
Примеры:
Голоса у нас похожи (голоса каковы? похожи – сказуемое);Окно в комнате круглое. Оно похоже на иллюминатор (оно каково? похоже – сказуемое).Краткая форма среднего рода похоже, имеющая окончание -е, совпала в написании и произношении с наречием и омонимичным ему словом категории состояния похоже,  в которых конечная е является суффиксом и которые (тоже и как части речи, и как члены предложения) отвечают на свои вопросы.
Вопрос к наречию похоже – как? каким образом? В предложении оно может выполнять две функции:
являться членом предложения, в основном обстоятельством образа действия;быть вводным словом, не членом предложения.Примеры:
Иван и Пётр одеваются похоже (одеваются как? каким образом? похоже – обстоятельство);Мы, похоже, заблудились (вводное слово, членом предложения не является).К слову категории состояния похоже – два вопроса: как? и каково? Слова категории состояния в одних словарях имеют вместо указывающей на частеречную принадлежность грамматической пометы помету «предикат», отмечающую синтаксическую функцию данного класса слов – они являются сказуемыми в безличных односоставных предложениях (в лингвистике предикат = сказуемое), в других так и пишут «в знач. сказ.» или «в функц. сказ.».
Примеры:
Похоже, что день будет жарким (как? каково? похоже – сказуемое);Не хотелось бы так думать, но похоже, что Иван так и не напишет сочинение (как? каково? похоже – сказуемое).Подытожим:
похожи (каковы?) – одна из кратких форм прилагательного похожий, -и – окончание этой формы; похоже (каково?) – ещё одна краткая форма прилагательного похожий, -е – окончание этой формы; похоже (как? каким образом?) – наречие, конечная буковка е в нём – суффикс;похоже (как? каково?) – слово категории состояния, конечная е в нём – тоже суффикс.                                                                              

Оба варианта верные, но их написание зависит от речевой ситуации.
Слова даны вне контекста, поэтому можно назвать три случая, когда пишется либо "е", ибо "и".
Пишем  "е":
наречие (слово категории состояния,  пишем с суффиксом "-е"), выступающее в роли либо вводного слова, либо являющееся сказуемым в безличном предложении,  напр., Он, похоже, сегодня не придёт. В саду так чудесно, на сказку похоже,краткая форма среднего рода единственного числа от полного прилагательного "похожий", пишем с окончанием "-е", является в предложении частью сказуемого, напр., Твоё лицо похоже на лицо бабушки.Пишем окончание "-и", если речь идёт о краткой форме второго или третьего лица множественного числа, напр., Вы с сестрой совсем не похожи, Они очень похожи друг на друга.

Если со словами "это", "оно","то", то писать надо "похоже" с буковкой "Е" в конце.. Третье лицо единственное число среднего рода..
Если со словом "они", то писать надо "похожи" с буковкой "И" в конце..Третье лицо множественного числа.

Оба варианта  применяются в русском языке. Их выбор зависит от смысла, контектса предложения.
Похоже (на конце Е) - это наречие либо краткое прилагательное единственного числа.  Пример 1. Похоже, нам понадобится зонтик, поскольку пойдет дождь. Пример 2. Это облако похоже на кораблик, плывущий по небу. Если мы используем во множественном числе это слово, на конце пишем И.Пример 3. Эти близнецы так похожи, что различить их невозможно.

В зависимости от контекста.
Мы похожи друг на друга.
Похоже, погода портится.
Т.е. когда сравниваются двое по степени похожести, мы пишем "похожи". Близнецы похожи, браться, дома, ситуации.
Если же на место этого слова можно, например, поставить слово "кажется" или "наверное", пишем "похоже", т.е. применяем "похоже" в случае предположения чего либо. Как оборот речи.

Определенного закона на все случаи жизни нет. Зависит от предложения. Если это слово идет в сочетании с существительным множественного числа, то похожИ.
Если же оно идет вместе с существительным единственного числа среднего рода, то похожЕ. Всем мир.