В каком случае имя прилагательное, обозначающее принадлежность к стране, может быть получено из названия страны не совсем так, как в остальных случаях?

• Дания
• Япония
• Испания
• Румыния
• Эстония

Никаких отступлений от темы, только объяснение с точки зрения русского словообразования.
Как известно, имена прилагательные, обозначающие принадлежность, могут образовываться от существительных при помощи суффиксов -ин, -ов, -ий. От наименований стран притяжательные прил-е не образуются.
Это не наш случай, поскольку речь должна идти не о принадлежности, а об сооотнесённости со  страной, т.е. это относительные прилагательные. Именно они обозначают признак предмета через его отношение к другому.
От названий стран такие прил-е образуются обычно при помощи суффикса -ск-, напр., , индийский.
Все пять прил-х, данных в вопросе, от собственных наименований образуются точно так же, т.е. способ образовния одинаков: дат/ск/ий, испан/ск/ий, румын/ск/ий, эстон/ск/ий, япон/ск/ий. 
Единственное отличие - прил-е "датский" от топонима "Дания" в корне имеет странное чередование т//н. Оно есть и в других производных, напр., датчанин.
Предположу, что это чисто русское явление, т.к., напр., на немецком никакой т нет - daenisch/дэниш. Возможно, этому есть такое историческое объяснение.
В начале 17 века прил-е писалось как "дацкий"/дацкой, через ц. Оно образовано было от старого русского названия  Норвегии - Датска. Норвегия в то время входила в состав Дании. Очевидно, произношение закрепилось в написании.
Смотрим словарь М. Фаснера:
                                                                              

Может быть, я чего-то не понимаю или отстал от жизни, но жители перечисленных Вами стран не могут именоваться с помощью имен прилагательных. Датчанин, японец, испанец, румын, эстонец - это все имена существительные. Привилегия именоваться с помощью прилагательного есть только у русских. Если я не ошибаюсь, мы, русские, единственная нация в мире, название которой дало имя прилагательное. Но, здесь есть одно "но". Во-первых, если слово "русский" обозначает национальность, то оно уже не прилагательное, а существительное, образованное от прилагательного по принципу "столовая", "учительская" и т.д. И,во-вторых, возможно, далеко не во всех языках национальность "русский" является прилагательным.   

Для иностранца конечно в вопросе могут быть какие-то сложности, но не для русского человека.
Хотя русский язык иногда выглядит со стороны не совсем логично.
Принадлежность к маленькой стране Эстонии, про "медлительных" жителей которой - эстонцев - есть немало анекдотов, может быть выражена словом "эстонский". Эстонский сыр, эстонский город. А жители - эстонцы.
То же можно сказать и о других: японский мультик, испанский турист, румынский язык. Японцы, испанцы, румыны.
А вот в Дании живут совсем не даны, а датчане и язык у них датский, а еще был такой Гамлет, принц датский, про которого написал пьесу великий Шекспир.
Поэтому очень просто запомнить, что только в случае с Данией прилагательное получается не так, как в других случаях.