Как следует писать правильно "по внешнему", раздельно или через дефис?

Раздельно пишется: по внешнему (кругу, состоянию).
Внешнему – прилагательное внешний в дательном падеже числа единственного (род либо мужской – внешний антураж, вид, долг, контраст, край, мир, подбор и пр., либо средний – внешнее благоустройство, ограничение, окружение, оформление, пространство, состояние, управление и т.п.). По – непроизводный предлог. Предлоги с прилагательными не употребляются. Несмотря на то, что располагаются слова этой части речи служебной нередко именно перед прилагательными (если этими прилагательными поясняются существительные), относятся они к расположенным за прилагательными существительным. Прилагательное в таких словосочетаниях можно опустить:
по внешнему облику, по внешнему периметру, по внешнему контуру – по облику, по периметру, по контуру;по внешнему охлаждению, по внешнему поведению, по внешнему сходству – по охлаждению, по поведению, по сходству.От некоторых прилагательных при помощи приставки по- и суффиксов -ому (-ему), -и образуются наречия, приставка по- в которых пишется через дефис:
новый путь, старый дом – жить по-новому, оставить по-старому;прежний уклад, зимний день – думать по-прежнему, одеться по-зимнему;русский, немецкий (язык) – говорить по-русски, читать по-немецки.От прилагательного внешний подобного типа наречие не образуется. Наречие от данного прилагательного образуется иным способом: не приставочно-суффиксальным, а суффиксальным, при помощи суффикса -е: внешне (внешне похож на отца).
Ещё добавлю: форма среднего рода – внешнее – употребляется и как существительное (способ словообразования – переход из одной части речи в другую). Это философский термин, обозначающий
Конечно, я не имею возможности перелопатить даже малую толику философских работ, посвящённых внешнему и внутреннему, может, в них и есть употребление предлога по непосредственно перед этим существительным (тогда раздельное написание само собой разумеется) – я же нашла только пример бесконтактного их употребления, то есть такой, в котором между предлогом по и существительным вклинилось местоимение: по чему-то внешнему.
Вывод: сочетание существительного, употреблённого с любым предлогом, в том числе с предлогом по, с любым прилагательным, располагающимся между предлогом и существительным, в том числе и с прилагательным внешний, пишется в три слова:
к современному миру, к двухнедельному путешествию;по древнему обычаю, по волчьему логову;по внешнему осмотру, по внешнему кольцу.                                                                              

Поскольку нет наречия по-внешнему, отвечающего на вопрос как?, которое бы писалось через дефис, а есть только сочетание предлога с прилагательным, правильно писать по внешнему. Вариант через дефис является ошибочным. Например: по внешнему краю, по внешнему сходству, по внешнему виду.

Правильно будет «по внешнему». Так как слово «внешнему» прилагательное, а предлоги с ними не употребляются. Например: по внешнему краю, по внешнему сходству, по внешнему виду.
Предложения со словом "по внешнему":
По внешнему виду можно многое сказать про человека.