участь
участник
частник
счастье
участие

Словом «участь» обозначают положение положение или проблему человека, обусловленное жизненными обстоятельствами - судьба человека, жизненный путь, доля, удел (обычно тяжёлый).Исходное значение — «часть».
«Участник» -  тот, кто  осуществляет    «участие» -  а) совместную с другими деятельность (берёт часть работы на себя); б) вносит свою часть в  долю, в пай, в дело, получает часть прибыли в деле. Исходное значение то же — «часть».
Когда жизнь человека, его интересы рассматриваются отдельно от жизни общества, в котором он живёт,  то они называются «частными» (частная жизнь). Под «частным»  понимается все, что связано с личными интересами и делами человека, иначе говоря -  всё особое, личное,  приватное, частичное (по отношению к общему), индивидуальное (по отношению к коллективному). На первое место  в слове «частник» - человека, занимающегося частными, собственными делами, выходит  признак «индивидуалист». «Частником» называют, например, частного собственника, торговца, предпринимателя, коммерсанта, бизнесмена и др.  Так что в смысл слова «частник» тоже входит значение «часть по  отношению к общему».
И, наконец, этимология слова «счастье» свидетельствует о том, что это слово восходит к ст-слав. понятию «часть», обозначающему совокупность оптимальных   для человека факторов, способствующих появлению у него чувства  глубокого удовлетворения и радости - церковнослав. "съчстьнъ" - "причастный", укр. "щастя" и др.
Вывод – все слова, приведённые автором вопроса, являются однокоренными.
                                                                              

Однокоренными яляются слова:
участьучастникчастникучастиеВсех их объединяет корень "-част-", выражающий принадлежность чего-то малого к чебу-то более крупному.
А слово счастье в этот список не попадает как морфологически, так и по содержанию:
во-первых, корень "счаст-".
во-вторых, смысл данного слова не имеет ничего общего с принадлежностью компонентов к чему-то целому.