Сочетание "своя автобиография" - это, по сути, тавтология. А "собственная автобиография": можно ли так писать?
"Кто начал собственную автобиографию..." - корректно ли так говорить?
"Он указал в собственной автобиографии..." - можно ли так сказать?
Ещё один пример: "написать собственные мемуары". Верно ли так говорить?

Нет, говорить "в собственной автобиографии" нельзя, потому что "автобиография" - это и есть своя биография.
И не собственной она не бывает.
"Собственные мемуары" - тоже выражение неправильное.
Чьи же они еще, если не собственные?
Добавление "собственные" здесь совершенно ни к чему.
Это и так понятно.
                                                                              

Разобрав по составу слово - автобиография, мы увидим что в нём уже присутствует местоимение:
autos — "сам»" bios — "жизнь" и grapho — "пишу". И следовательно ещё раз "представляться" не нужно. Написать чужую биографию невозможно, только свою.
Приведённое в пример предложение пишется просто: "Он указал в автобиографии ..."
С мемуарами примерно такая же история. В переводе с французского mémoires это воспоминания. В которых автор пишет о каких-то исторических событиях, участником или свидетелем которых он сам и являлся.
Примеры предложений:
Я пишу свои мемуары. - неправильно.
В своих мемуарах автор пишет... - вполне допустимо.

"Собственная автобиография" так же как и "собственные мемуары" это тавтология. Получается какое-то "масло масляное". В таком случае лучше говорить "собственная биография" или просто "автобиография" без добавления "собственная", потому что и так ясно, что автор описал свою собственную биографию, а не чью-то чужую. "Собственные мемуары" тоже перебор, в этом случае слово "собственные" абсолютно лишнее. И так понятно, что "мемуары" это воспоминания автора, они принадлежат ему и являются его "собственными" по определению.