Как правильно: дешевинький или дешевенький?
Через "е" или через"и"?
ДешевЕнький или дешевИнький?
Как объяснить правописание?

Здесь правило простое - суффикс "-иньк-" в русском языке употребляется только в трех словах, которые надо запомнить: паинька, баиньки, заинька. Во всех остальных случаях после мягкой согласной в корне (или после шипящей) будет писаться суффикс "-еньк-".
В других словах может возникнуть сомнение, писать ли "-еньк-" или "-оньк-" - второй суффикс пишется только после твердых согласных в корне.
Также может быть путаница с суффиксом "-инк-", или же с двумя суффиксами - "-ин-к-", например, снежинка, льдинка. Но здесь звук "-н-" твердый, мягкий знак не пишется, в отличие от буквы "и".