Как решить Геликоптер или геликоптёр? Как правильно? Почему?.

Правильно - "геликоптер". Так это слово записано в толком словаре Ушакова.
И вообще это слово - устаревшее.
И если вы не Леонардо да Винчи, придумавший его, то лучше просто пишите "вертолёт".