Как это решить Вожатый, зажатый, нажатый, прижатый, сжатый: какое из этих слов лишнее?.

Одно из этих слов является не прилагательным или причастием, а существительным в отличие от всех остальных в списке. Оно отвечает на вопрос, кто, а не какой  это первое слово из списка. Это слово вожатый.
                                                                              

Несмотря на то, что все приведённые в вопросе слова, происходят от глаголов, большинство из них можно отнести к причастиям. Причём к причастиям, образованным, в итоге, от глагола "жать" (в смысле производить воздействие, сдавливающее что-то или кого-то). Это такие слова, как зажатый (зажатый со всех сторон), нажатый (нажатый тормоз), прижатый (прижатый к полу) и сжатый (сжатый до упора).
А вот слово "вожатый" в современном языке употребляется в качестве имени существительного (даже не могу придумать словосочетание с другим вариантом употребления этого слова) - человека, ведущего кого-то или чего-то (как в прямом, так и в переносном смысле): вожатый пионерского отряда, вожатый трамвая и т.п.
Так что лишним среди приведённых слов будет слово "вожатый".

Все эти слова имеют отглагольное образование, но  морфологическая принадлежность одного из них иная.
Речь идёт об имени существительном, образованном от глагола "водить",  - вожатый.
Это слово имеет грамматические категории сущ-го 2-го склонения мужского рода (кто?), вступает в синтаксические отношения подобно сущ-м, напр., У нас в лагере был чудесный вожатый/Нам назначили нового вожатого/У пятиклассников появились вожатые и т.п.
Остальные четыре - обычные страдательные причастия прошедшего времени, т.е. имеют глагольные признаки и признаки прилагательного, отвечая на вопросы (что сделанный? какой?), напр., зажатый в кулаке билет, нажатый вовремя рычаг, прижатый к стене, сжатый шар. 

В указанной группе слов лишним будет слово "вожатый". Это существительное, предмет. "Вож-"корень. Остальные слова являются причастиями. По сути - признаки предмета по действию. У них общий корень "жа". Ну и суффикс "т" тоже одинаковый. Разнятся лишь приставки.

Рассмотрим группу слов с точки зрения логики. Все слова означают степень или вид сжатия, то есть физического воздействия на человека или предмет. Одно слово имеет совершенно другой смысл и это слово "вожатый". Вожатый - человек, который ведет за собой группу людей, либо занимается воспитанием детей в лагере или санатории.

Понятно, что в данных пяти словах лишним является слово вожатый, ибо корень этого слова -вож- (чередование д-ж, от слова водить). Все остальные четыре слова являются однокоренными и обозначают действия по значение сжать, прижать, нажать и т.д. А однокоренным словом к слову вожатый может быть слово водить, проводник.