Как проверить правописание слова "перешёптывание"?
Какие правила русского языка следует применить?

Перешептывание - существительное, образовано от глагола перешептываться.
Пере - приставка, здесь в значении "поочередность действия" (шептать по очереди).
Шёпт - корень, от слова шёпот.
После шипящих в корне слова под ударением пишется ё (е), если при изменении слова или образовании родственного в этом корне появляется е :
шёпот - шЕпчет.
Ыва - суффикс глагола.
Если 1-е лицо глагола оканчивается на -ываю, -иваю, то в неопределенной форме и в прошедшем времени пишутся суффиксы -ыва, -ива:
перешептываюсь - перешептываться.
Ни - суффикс.
Слышится (фонетический разбор) как ни-й, захватывая й из окончания.
Е - окончание.