В русском языке 15 падежных оппозиций существительных. Понятно, что 6 падежей, 2 числа со своими окончаниями, в итоге 12, но где ещё 3? Имеется в виду 3 рода?

Пятнадцать падежных оппозиций имен существительных в русском языке подразумевают шесть основных и девять дополнительных падежей. А именно:
именительный
родительный
дательный
винительный
творительный
предложный
звательный
местный
разделительный
счетный
отложительный
лишительный
количественный
ждательный (или родительно-винительн�ый)
превратительный (или включительный).
Кроме падежных, существуют родовые и другие оппозиции.