Как решить "Всюду" - какая часть речи?.

Сейчас мы не воспринимаем это слово как производное (образованное от других).
А между тем его этимология восходит к древнерусскому местоимению "весь" в значении "полностью, целиком", к которому был присоединён наречный суффикс -уду".
Смотрим этимологический словарь Н. Шанского:
В современном русском языке слово "всюду" является наречием места, синонимичным другим - везде, повсюду, повсеместно, напр., всюду развешены фонари, повсюду слышны голоса, повсеместно объявили тревогу.
Разумеется, никакие иные морфемы, кроме корня, в нём сейчас не выделяются.