Как правильно: вышагевать или вышагивать?
ВышагИвать или вышагЕвать?
Как объяснить правописание?

Правильно пишется "вышагивать". Это глагол, образованный от слова "шаг" с приставкой "вы-".
Приставка "вы-" в русском языке имеет значение "изнутри наружу, вверх". В данном случае она обозначает выполнение действия "шагать" с особой интенсивностью, производящее большой пройденный путь.
Слово "вышагивать" имеет корень "шаг" и суффикс "-ивать", что указывает на длительное, повторяющееся действие.
Форма "вышагивыать" не является правильной в русском языке и является ошибкой.