Как правильно: ясенивый или ясеневый?
Как объяснить правописание?
ЯсенЕвый или ясенИвый?

Заданное слово относится к именам прилагательным, и никаких сомнений в этом не может быть, потому что отвечает на вопрос КАКОЙ? и обозначает признак предмета ( цвет, тон).
Образовано это прилагательное от имени существительного "ясень" при помощи суффикса. 
Если бы этот суффикс в прилагательном находился  в сильной позиции (под ударением), то он и произносился бы как в прилагательных "ленИвый, соплИвый, правдИвый, учтИвый", с суффиксом       "-ив-"
Но это прилагательное имеет ударение, как и в производящем существительном, на первом слоге "я".
В соответствии с правилом русского языка в прилагательных с таким безударным суффиксом правильно писать этот суффикс с гласной "е", например, "сиреневый, тканевый, тюлевый,  корневой".
Исключениями являются прилагательные  "милостивый, незлобивый, юродивый".
Таким образом, правильно писать ясеневый.
Паркет из ясеневой древесины очень красив.
                                                                              

Когда-то я читал о том, что в русском языке действительно есть подобная проблема с Е/И в суффиксах прилагательных. Например, "доверчивый" мы пишем через И, а "гуттаперчевый" — через Е. В обоих случаях суффикс безударен. Иностранцам это понять, думаю, достаточно сложно.
Как разумно будет предположить, тут играет роль разряд прилагательного. Доверчивый — качественное прилагательное. Оно имеет краткую форму (доверчив), имеет степени сравнения: доверчивее, самый доверчивый. (Впрочем, суффикс там не -ив-, а -чив-.) "Гуттаперчевый" — прилагательное относительное, оно образовано от слова "гуттаперча" (вид материи). Очевидно, характерных отличительных признаков качественных прилагательных у него нет.
В нашем случае имеем прилагательное "ясен*вый". От чего оно образовано? От существительного "ясень". Значит, оно относительное. Понимаем, что нельзя сказать "Лес был ясенев", "Наша роща ясеневее вашей". Таких слов не существует. Поэтому, поскольку у нас относительное прилагательное, напишем его через Е: ясеневый.
Добавлю ещё, что в ударной позиции суффиксу -ев- соответствует суффикс -ёв-: рублёвый, вишнёвый. Это тоже, конечно, относительные прилагательные.