Обращения и вводные слова в русском языке не являются членами предложения.
А что можно сказать об уточнениях, уточняющих словах, уточняющих конструкциях?
 

• Лет пять тому назад осенью, по дороге из Москвы в Тулу, мне пришлось посидеть почти целый день в почтовом доме за недостатком лошадей.
• Все встали и отправились на террасу, за исключением Гедеоновского, который втихомолку удалился.
• Весь день этот Анна провела дома, то есть у Облонских, и не принимала никого.
• Все были в большом смущении, особенно моя мать.
• Многие наши поэты, например Жуковский, были отличными переводчиками.
• Общество уже любит и уважает науку; но эту науку все-таки надобно популяризировать, и популяризировать с очень большим уважением.

В 1-м предложении уточнением является конструкция «по дороге из Москвы в Тулу», во 2-м — «за исключением Гедеоновского», в 3-м — «то есть у Облонских», в 4-м — «особенно моя мать», в 5-м — «например Жуковский», в 6-м — «и популяризировать с очень большим уважением». Если нужен источник, то все предложения я взял отсюда.
Интересно было бы узнать: каким членом предложения является каждое из уточнений, указанных выше, в предыдущем абзаце? Хотелось бы прояснить данный момент.

О, если бы это было так просто, увы.
В современной русской грамматике (включает в себя морфологию и синтаксис) есть особое понятие - обособленные члены предложения. Причём они обособляются и графически (пунктуационно, на письме), и голосом (интонационно, при произношении).
Интересно, что в качестве обособленных членов предложения могут выступать любые его члены. Роль обособленных членов предложения - пояснять, приосоединять или уточнять любой член. Кстати, свойства, значения и разграничение уточнений, присоединений и пояснений - одна из сложных и спорных тем в современной грамматике.
Уточняющие члены предложения, как правило, находятся после уточняемого слова, отвечают на тот же вопрос, что и оно, могут быть распространёнными (состоят из нескольких слов) или нераспространёнными (одно слово). Любой член предложения может быть уточняющим.
По поводу предложений из вопроса.
Замечу, что только в одном  примере дан уточняющий член предложения, но, видимо, в школьном курсе не определяется разница между уточняющими, присоединительными и пояснительными конструкциями. Главное - правильно определить синтаксическую роль (без нюансов) и верно обособить на письме.
Определяемое, уточняемое слово - "осенью" (когда?), обстоятельство времени, обособленное уточняющее обстоятельство (когда именно?)- "по дороге из Москвы в Тулу". Это классический пример уточнения.
К подлежащему "все" (кто?) относится присоединительный оборот "за исключением Гедеоновского", это обособленное присоединительное подлежащее. Оно вносит дополнительный смысл в опорное "все", сообщает нечто о конкретном персонаже, включается в предложение словами "за исключением".
У обстоятельства "дома" (где?) есть обособленное пояснение "то есть у Облонских" (где?), эта конструкция - обособленное пояснительное обстоятельство. Оно обозначает то же самое, что и "дома", но иначе, вводится союзом "то есть".
В этом предложении подлежащее "все" имеет присоединительную конструкцию - "особенно моя мать" (кто?), это обособленное присоединительное подлежащее.
При помощи слова "например"  в предложение вводится обособленное присоединительное подлежащее "например Жуковский" (кто?), относящееся к подлежащему "поэты" (кто?).
В этом предложении присоединительная конструкция - "и популяризовать с очень большим уважением" (что делать?), она относится к сказуемому второй части "надобно популяризовать" и является обособленным присоединительным сказуемым.