Как объяснить ребенку, какой звук обозначается буквой щ? Зачем ее выделяют отдельной буквой. Если я правильно понимаю, она передает на письме мягкий звук ш? Почему нет отдельных букв для обозначения прочих мягких согласных?

Щ - 27-я буква русского алфавита. Ее облик восходит к букве кириллицы "шта" - лигатуре из букв Ш и Т.
В современном произношении [щ'] соответствует долгий [шш']. То есть щ - это не копия [ш'], а самостоятельный звук. Когда-то существовал "ленинградский" вариант произношения [щч'].
В народном произношении буква Щ часто заменяется на Ш или Ч: об[ч]ество, вооб[ч]е. Пример, закрепившийся в литературной речи, - перчатка (вместо "перщатка" - от "перст").
Сейчас употребление Щ, соответствующего русскому Ч, - признак церковнославянского происхождения слова (освещать - свеча).
Старославянское происхождение имеют суффиксы причастий -ущ-(-ющ-), -ащ-(-ящ-). Русскими суффиксами были -уч-(-юч-), -ач-(-яч-). Они стали суффиксами прилагательных (ср.: горящий - горячий, текущий - текучий).
Судьба буквы Щ не раз обсуждалась в филологической среде. Например, ее предлагали заменить на буквосочетание [сч']. Звучали и обратные идеи: расширить написание Щ, писать ее во всех случаях, где она звучит му[щ]ина, [щ]астье. Однако эти варианты не учитывают, из каких частей состоит слово. Поэтому они не были приняты.
                                                                              

Из вопросов "как объяснить ребёнку...?" обычно вырисовывается образ этого самого ребёнка - ничего не знающего, не желающего думать, хронически тупого ленивого кусающегося зверька, ненавидящего узнавать что-либо новое.
На самом деле дети не такие: они очень внимательны, интересуются всем новым, их ум остр, а способность к анализу восхитительна. Иначе они никогда не научились бы говорить, всего лишь наблюдая за взрослыми, без методик, упражнений и прочих видов заката солнца вручную, без которых взрослый не способен овладевать знаниями.
Буква Щ пришла к нам из старославянского алфавита, где она обозначала сочетание двух звуков - [шт] в словах, которых в древнерусском не было, но который их заимствовал вместе с буквой. В болгарском языке она до сих пор их обозначает, в украинском - [шч], а в современном русском не просто мягкий, а мягкий долгий [ш:']. В древнерусском языке был и краткий [ш'] - для его обозначения служила буква Ш, но потом звук отвердел.
Если ребёнок не глухой, то он слышит разницу между твёрдыми и мягкими звуками. Взрослому нужно знать, что любой из мягких согласных - отдельный самодостаточный звук, а не "разновидность" твёрдого, потому что выполняет смыслоразличительную функцию:
вол (животное) - вёл (за собой)выл (голодный волк) - вил (верёвки)вал (окружавший замок) - вял (и безынициативен был двоечник Бякин)Достаточно сказать, что если перед нами твёрдый короткий [ш], то пишем букву Ш, а если мягкий и длинный [ш:'], то пишем Щ. Произносим по-разному, поэтому и пишем тоже неодинаково - что может быть проще? Ведь после буквы Ш мы не пишем Ы, Я, Ю, если бы мы использовали только её, в том числе и там, где сейчас пишем Щ, нам пришлось бы изменить написание многих слов, усложнить правила правописания. Любой ребёнок поймёт, что использовать две разных буквы для двух разных звуков - очень хорошая идея по сравнению с введением дополнительных правил да исключений в орфографии.
Разница между звуками проявляется не только в звучании, но и в смысле, хотя таких слов очень мало, например:
(А. С. Пушкин)
(Р. И. Фраерман)

Русский алфавит мог бы быть гораздо короче, но для удобства чтения каждый звук решили обозначать отдельной буквой, а не сочетанием букв:
йа - я, йо -ё, йу -ю.
Буква Щ это не мягкое ш (шь), она заменяет комбинацию из четырех букв - шьчь. И если сочетание двух букв представлено отдельной буквой, то сочетание четырех заменить одной тем более оправдано.

Звуки "ш" и "щ" отличаются не только мягкостью. Не различают их звучание только иностранцы.
"Павел Андреевич, Вы - шпион?"(C)