Как правильно пишется: задохнутся или задохнуться?
С мягким знаком или без него?
Какие правила?
Примеры предложений.

Речь идёт о двух разных грамматических формах одного и того же глагола совершенного вида.
В зависимости от контекста будет использоваться одна из них:
инфинитив/неопределённая/начальная форма "задохнуться" (что сделать?), инфинитив пишется с мягким знаком на конце, формально на это указывает вопрос, напр., Без своевременного доступа кислорода в баллон человек может задохнуться (что сделать?)личная форма третьего лица множественного числа, пишем без мягкого знака, и снова вопрос - подсказка, напр., Он задохнется (что сделает?) в этой комнатушке.В любом случае руководствуемся актуальным правилом написания Ь в глаголах -
                                                                              

Я обычно использую простой способ - задать вопрос "что делает?", "что сделать?" И соответственно пишу с мягким знаком или без него, ориентируясь на вопрос.
Поясню на примере:
"В пустыне во время песчаной бури человек может задохнут.ся от пыли" Задаю вопрос "что может сделатЬ человек?" Ответ "ЗадохнутЬся" Значит в данном предложении слово "задохнуться" пишется с мягким знаком.
"Если путешественники не прикроют рты во время песчаной бури в пустыне, то они задохнут.ся".
Опять-таки формулирую проверочный вопрос: "Что сделают?" - "Задохнутся". Следовательно в данном случае слово "задохнутся" пишется без мягкого знака, т.к. его нет в вопросе