Как решить Занемог, что означает данное слово? Где используется?.

Лексика современного русского языка неоднородна, в частности, и по происхождению, и по употреблению.
Глагол "занемочь" считается исконно русским этимологически. Образован он при помощи приставки "за-" от глагола "немочь"(не иметь сил, быть нездоровым), а этот глагол от другого - мочь (иметь силы, быть здоровым).
Современное лексическое знчение глагола "занемочь" - чувствовать себя нездоровым, больным.
Обычно используется в разговорном стиле, напр., В саду сегодня не работаю - что-то занемог маленько.
Заглянем в толковый словарь С. Кузнецова:
Классический пример из "Евгения Онегина" - тоже случай разговорного языка, использованного автором для передачи настроения героя, вынужденного поехать к умирающему дяде.
                                                                              

К сожалению, не каждый современный школьник, приступая к прочтению "Евгения Онегина" Пушкина, сходу понимает смысл глагола "занемог".
Далеко не у каждого из них возникнет ассоциация с существительным "немочь" (ударение на первый слог), от которого и произошел рассматриваемый глагол, но наиболее любознательных наверняка заинтересует одноименное стихотворение И.Сурикова.
В литературе прежних лет "немочь" - болезнь, одна из форм эпилепсии, второе её именование - "падучая".
В современном русском языке слово "немочь" относится к числу разговорных. А полным синонимом к нему в письменной речи является слово "немощь" - существительное женского рода, означающее болезнь, недомогание, слабость.
Изо всего изложенного следует, что "занемог" есть не что иное, как заболел, неважно себя чувствует (о человеке), почувствовал слабость, недомогание.
Лично я на протяжении жизни лишь единожды встретил человека, который применительно к себе употреблял данное слово. Даже разговорный диалектный синоним "занедюжил" (эквивалент - твёрдое произношение "занедужил") приходилось слышать существенно чаще. Хотя фразы типа "что-то мне сегодня неможется" нет-нет да и доводится услышать.

Занемог - это значит человек заболел, захворал, занедужил. Занемог это значит - на человека напала немочь, болезненная слабость.
Слово это используется в литературе, например, из произведения Александра Сергеевича Пушкина "Евгений Онегин":

Занемог - это такой осьминог) На самом деле, это слово означает какую-то временную неспособность, чаще всего относится к состоянию здоровья, синоним слёг. Занемог я что-то, звучит лучше, чем заболел, мне кажется, мягче.