Как решить Заодно или заодним? Как правильно? В каких случаях? Примеры употребления?.

Из этих двух вариантов правильным является только первый – наречие «заодно», которое в  имеет в основном два значения:
1)единодушно, в согласии (быть вместе, действовать в согласии с кем-нибудь), например, если один человек  (действует) заодно с другим, то это значит,  у них общие интересы, которые они отстаивают вместе, поддерживая друг друга: (Я думала, что ты на моей стороне, помогаешь мне, а ты, оказывается, заодно с моими врагами.
2)одновременно (пользуясь случаем, при случае  с чем-нибудь другим, совмещая это действие с другим, кстати (разг.), например: "Дочь купила в магазине хлеба, а заодно и бутылку  молока".
Второе наречие «заодним» (как и «заразом») в  русский литературный язык не входит. Он, по мнению лингвистов, относится к «украинизмам», т.е. как остаточная форма  структуры «за одним разом», встречающаяся  крайне редко только в в речи у потомков  украинцев, проживавших в России,  или в пассиве лексики отмерших  диалектов русского языка.