Как правильно: затеивший или затеявший?
ЗатеЯвший или затеИвший?
Как объяснить правописание?
Какая часть речи?

Сначала разберемся, с какой орфоргаммой мы имеем дело в данном случае. Для этого нам нужно ответить на последний вопрос.
Наше слово отвечает на вопрос какой? и что сделавший?. Значит, это не просто имя прилагательное, а причастие. Вопрос помогает нам понять, что оно действительное и прошедшего времени.
Такие причастия образуются от формы прошедшего времени/инфинитива добавлением суффиксов -ш-/-вш-.
Неопределенная форма, нужная нам, затеять. Отбрасываем -ть, добавляем -вш-, получаем затеЯвший.
Конкурент, затеявший недобросовестную игру, не учел наших возможностей и связей нашего генерального директора.