Три мальчика поделили между собой собранные грибы в следующим порядке. Первый взял 1/2 части от грибов собранных другими, второй взял 1/3 части от грибов собранных другими, а третий взял оставшиеся 155 грибов. Сколько всего они собрали грибов?

Количество грибов, собранных первым мальчиком принимаю за "п", вторым мальчиком за "в", третьим мальчиком за "т". А все грибы равны "х". Составляю систему уравнений.
3) Начну с третьего. Он ничего не брал ни у кого. Зато у него забрал 1-й половину и второй 1/3 у него своих осталось т - т/2 - т/3 = 6т/6 - 3т - 2т = т/6 и он забрал остаток 155 - т/6.
2) А теперь со вторым. У него забрал 1-й половину. У него своих осталось в/2. Но к этому количеству надо приплюсовать п/3 и т/3.
в/2 + п/3 + т/3.
1) А, что первый. У него забрал 2-й треть. У него своих осталось 2п/3. Но к этому количеству надо приплюсовать в/2 и т/2.
2п/3 + в/2 + т/2.
Составлю систему уравнений:
х - 155 - т/6 - п - в = 0.
в/2 + п/3 + т/3 = в1.
п - п/3 = 2п/3 = п1.
155 - т/6 = т1. Это всё не важно.
х = 155 - т/6. Избавлюсь от знаменателя 6:
х = 930. Мне важно сколько, и кто собрал грибов. В вопросе спрашивается об общем количестве.
Мой ответ: 930 всего они собрали грибов.
                                                                              

Мне кажется, что все предложенные решения - неверны, а некоторые содержат явные нонсены и неточности. Похоже в предложенном варианте задача очень сложная и не имеет решения, если её понимать точно в соответствии с текстом.
Хотя и в задании и в комментах чётко указано, что первый и второй мальчики забирали свои доли от собранного другими, а не от общего числа собранных грибов, почему-то вдруг большинство стало решать, как будто первый и второй мальчики брали доли от общего числа собранных грибов.
В задании можно понять по разному начальное состояние. В одном варианте каждый из мальчиков до начала перераспределения имел столько грибов, сколько он собрал. А потом, первый мальчик забрал по половине у второго и третьего, а второй мальчик забрал по трети у первого и третьего. Тогда у первого мальчика всё, что он собрал сам плюс две половины собранного вторым и третьим минус треть им собранного. И т.д.
Однако из фразы "а третий взял оставшиеся 155 грибов" ясно следует, что третий мальчик забрал остатки из собранного всеми тремя мальчиками. Не написано "забрал оставшееся у него от собранных им грибов после поборов двумя другими мальчиками". А если он забрал оставшееся от всех грибов значит, условие надо понимать вот так:
Мальчики выложили свои грибы в три кучки. Потом из соответствующих кучек первый и второй мальчики взяли по 1/2 и 1/3 грибов соответственно. Это и стало их долей. А третий мальчик забрал всё, что осталось во всех трёх кучках грибов. И это было 155 грибов.
Хотя мне кажется, что в такой трактовке условия задача не имеет решения. Потому решать надо первый вариант.
Ближе всех условие понял Nasos, но запутался. Остальные вообще исказили условие, как им захотелось. Вот такое решение предлагают на многих сайтах в Интернете:

Для простоты будем считать так.
Каждый посчитал сколько собрал грибов, затем они свалили все грибы в одну кучу и стали забирать 1/2 и 1/3 исключительно от того количества, которое было озвучено каждым, как количество собранных им грибов.
После того, как первый забрал 1/2 чужих грибов, осталось грибов в таком раскладе:
у первого все его грибы, у второго и у третьего - по половине их собранных грибов.
После того, как второй забрал 1/3 собранных грибов первого и 1/3 собранных грибов третьего, осталось грибов в таком раскладе:
у первого 2/3 его собранных грибов, у второго 1/2 его собранных грибов, у третьего 1/6 его собранных грибов. 
И что далее? Я могу разбить число 155 на три части совершенно разными способами, например так:
60, 65 и 30,
тогда грибов всего было 90, 130 и 180, что в сумме даёт 400.
Или разбить так:
70, 75 и 10,
тогда грибов всего было 105, 150 и 60, что в сумме даёт 315.

В связи многочисленных споров я напишу новый ответ с проверкой своего решения.
Здесь 4 неизвестных.
Количество грибов. Можно принять за "1".
Количество грибов, собранное 1-м. Это "х".
Целое число должно делиться на 3 без остатка.
Количество грибов, собранное 2-м. Это "у".
Целое число должно делиться на 2 без остатка.
Количество грибов, собранное 3-м. Это "а".
Целое число должно делиться на 2 и на 3 без остатка, фактически на 6.
1й имеет 1/2 от 2-го и 3-го при этом у него 2-й забрал треть.
Значит (2/3)х
2й имеет 1/3 от 1-го и 3-го при этом у него 1-й забрал половину.
Значит (1/2)у.
3-й имеет а(1 - 1/2 - 1/3) = (1/6)а, которая входит в количество 155 грибов.
Составляю уравнение:
2х/3 + у/2 + а/6 = 155. Общий множитель "6". Умножаю на дополнительные множители. Для 1-го это 2, для 2-го это 3, Для третьего 1, значит 155 надо умножить на 6:
4х + 3у + а = 155*6 = 930.
Первоначально они собрали 930 грибов.
Проверка:
1-й мальчик нашёл всего 3 гриба.
2-й мальчик нашёл всего 2 гриба.
3-й мальчик нашёл всего 900 грибов.
Цитирую:
Первый взял 1/2 части от грибов собранных 2-м мальчиком:
2/2 = 1 гриб.
Первый взял 1/2 части от грибов собранных 3-м мальчиком:
900/2 = 450 грибов.
Цитирую дальше:
Второй взял 1/3 часть от грибов собранных 1-м мальчиком:
3/3 = 1 гриб. Первый и второй оставили в куче свои грибы перегоняя друг другу 1 гриб. То есть 2 + 3 = 5.
Второй взял 1/3 часть от грибов собранных 3-м мальчиком:
900/3 = 300 грибов.
Продолжу цитировать: 
Третий ничего ни у кого не брал. Он забрал остаток своих грибов и 5 от первого и второго мальчиков. Вычисляю:
900 - 450 - 300 + 5 = 155.
Сходится. Проверка завершилась успешно!
Мой ответ: Всего они собрали 930 грибов.
P.S. Цитата Иры ЛДВО (с позволения автора):
В цитате присутствуют мои пояснения.
То есть ответов может быть множество, что я и доказала. Ответ, Nasos-а 400 и 315. Мой и многих других 930. Все ответы верные и доказываются проверкой.

Пусть первый мальчик собрал х грибов, второй у грибов. Количество грибов у третьего мальчика нам известно - это 155 штук.
По условию задачи первый взял 1/2 части от грибов собранных другими, то есть
х - это половина от собранного вторым и третьим мальчиками или
х = 0,5 *(у + 155)
Второй взял 1/3 части от грибов собранных другими, то есть у - это треть от собранного первым и третьим мальчиками вместе или
у = 1/3 *(х + 155)
Подставим вместо х значение из первого уравнения и получим:
у = 1/3 *(0,5 *(у + 155) + 155);
у = 1/3 *(0,5у + 0,5*155 + 155);
у = 1/3 *(0,5у + 77,5 + 155);
3*у = 0,5у + 232,5;
3у - 0,5у = 232,5;
2,5у = 232,5;
у = 232,5/2,5; у = 93 - собрал второй мальчик грибов.
Зная у, найдем сколько грибов собрал первый мальчик, а это
х = 0,5 *(93 + 155) = 0,5 * 248 = 124 (гриба).
Найдем сколько грибов собрали мальчики всего: 124 + 93 + 155 = 372 (гриба).
Проверим правильность ответа. Первый мальчик собрал половину собранного вторым и третьим, то есть 124 = 0,5 *(93 + 155); 124 = 124 - верно.
Второй мальчик собрал треть того, что собрали первый и третьий мальчики, значит должно быть верным 93 = 1/3 *(124 + 155); 93 = 93 - верно.
Ответ: три мальчика собрали всего 372 гриба.

Придётся рисунки рисовать. Да только плохо у меня получается.
Вот так они сложили кучки.
Первый забрал у второго половину 1 гриб. У второго остался 1 гриб.
Первый забрал у третьего половину 450 грибов. У второго осталось 450 грибов.
Второй забрал у первого треть 2 гриба. У первого осталось 4 гриба.Второй забрал у третьего треть 300 грибов. У третьего осталось 150 грибов.
Всё картинок больше нет. Третий забрал 155 грибов, а было 908, а не 930.
Ироха мудрая, а  я нет.

Представьте что всего грибов х
1-ый мальчик-1/2х
2-ой мальчик-1/3х
3-ий мальчик-155
1)1/2х+1/3х+155=х
1/2х+1/3х-х=-155
3/6х+2/6х-1х=-155
5/6х-6/6х=-155
-1/6х=-155
х=-155:(-1/6х)
х=930
Ответик:930 грибов
Надеюсь помог)))