На доске записаны три простых числа (не обязательно различных). Денис заметил, что их сумма и произведение отличаются в 107 раз. Чему может быть равна сумма трёх чисел на доске? Укажите все возможные варианты.

107(а+в+с)=авс.
Здесь а, в, с, 107-это простые числа. Тогда одно из чисел а, в, с равно 107.
Для определенности пусть
а=107,
тогда подставив и сократив получим :
107+в+с=вс
107+в=с(в-1)
108+в-1=с(в-1)
108=(в-1)(с-1)
Теперь,как можно представить 108.
1)108=108*1
в-1=108,с-1=1
в=109,с=2-вроде это простые числа
107(107+109+2)=107*1�09*2
23326=23326
I ответ:
а=107,в=109,с=2-первая тройка чисел.
2)108=54*2
в=55,с=3-не подходит, 55-составное число
3)108=27*4
в=28,с=5-не подходит, 28-составное число
4)108=9*12
в=10,с=13-не подходит, 10 составное число
5) 108=3*36
в=4,с=37-не подходит, 4 составное число.
6)108=6*18
в=7,с=19
II ответ:еще одна тройка чисел( 107,7,19)
Все варианты перебраны.
                                                                              

Произведение трёх чисел кратно ста семи, следовательно одно из чисел равно сто семь (107).
Произведение двух оставшихся чисел равно сумме трёх чисел, одно из которых равно 107,следовательно произведение двух простых чисел больше чем 107.
Подбираем пару таких чисел (чтобы их сумма была меньше произведения на 107) получим числа 7 и 19 7*19=133
133-107=7+19
Получили три числа семь (7) , девятнадцать (19)  и сто семь (107)
Других таких простых чисел  не найти, поэтому это единственный ответ.
Проверка:
7*19*107/(7+19+107)=��14231/133=107
Ответ сумма трёх простых чисел на доске равна 133 (7+19+107=133).

Сначала нужно вывести формулировку:
Я присвоила числам первые буквы по порядку следования: "Первое, второе, третье".
Я думаю надо написать формулу типа, точнее уравнение:
107*(п + в + т) = п*в*т. А если найти средне число "х", то уравнение примет иной вид:
107*3*х = х^3. Теперь нужно найти чему равен "х". Прежде сократить на "х" и вычислить:
321х = х^3.
321 = х^2.
х = √(321) = 17,9164728672. Возьму 17. Это ближайшее простое число. Но если их три, то:
107*17*3 = (17^3). Вычисляю:
5 457 > 4 913. Конечно же не сойдётся надо искать другие числа. Например, 2 по 17 и одно 19. Проверяю:
17 + 17 + 19 = 53.
(17*17*19)/107 = 51,3177570093. Недолёт. Возьму 2 по 19 и одно 17. Проверяю:
17 + 19 + 19 = 55.
(17*19*19)/107 = 57,3551401869. Перелёт надо пробовать 13.
Простые числа до 200: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
13 + 19 + 19 = 51.
(13*19*19)/107 = 43,8598130841. Недолёт. Возьму 23:
13 + 19 + 23 = 55.
(13*19*23)/107 = 53,0934579439. Недолёт. Возьму 31 и 11:
11 + 19 + 31 = 61.
(11*19*31)/107 = 60,5514018692. Недолёт. 
Я написала вот такое уравнение:
(2х + а)*107 = а*(x^2). Будто два простых числа одинаковые, а 3-е надо найти. Вставляла вместо "а" все простые числа от 2 до 109. Ответа нет. Значит они должны быть разными или я чего-то недопонимаю. Буду думать.
Надумала. Одно из чисел должно быть 107, потому что при делении само на себя будет "1". Пишу формулу:
(а + х + 107)*107 = а*х*107. Сокращаю на 107:
а + х + 107 = а*х. Подбираю 2 числа из простых. Начну с "2":
2 + х + 107 = 2х.
х = 109. Подходит. 109 простое число.
Проверка:
(2 + 109 + 107)*107 = 23 326
2*109*107 = 23 326. Сходится. Проверка завершилась успешно!
Возьму 3:
3 + х + 107 = 3х.
2х = 110.
х = 110/2 = 55 - не подходит.
Возьму 5:
5 + х + 107 = 5х.
4х = 112.
х = 112/4 = 28 - не подходит.
Возьму 7:
7 + х + 107 = 7х.
6х = 114.
х = 114/6 = 19 подходит. 19 простое число.
Возьму 11:
11 + х + 107 = 11х.
10х = 118. Не подходит. Не делится.
Возьму 13:
13 + х + 107 = 13х.
12х = 120.
х = 10 подходит. 10 не простое число.
Возьму 17 последнее число из корня:
17 + х + 107 = 17х.
16х = 124.
х = 124/16 Не подходит. Не делится.
Мой ответ: 2 варианта - сумма чисел в первом = 2 + 109 + 107 = 218, а сумма чисел во втором = 7 + 19 + 107 = 133.