Помогите решить Через какие геометрические факты можно доказать параллельность прямых?.

Ну вообще доказать можно, я доказывал в свое время через секущую к двум прямым, если соответствующие углы равны, то условно эти прямые - параллельные. И даже вроде в школе так доказывал, это считалось верным. Но это доказательство через свойство, т.е. следствия к факту, примут ли это у вас - никто не знает.
                                                                              

Параллельность прямых принимается аксиоматически (т.е. бездоказательно) в одном пространстве и не принимается в другом.
Если же речь идёт о том пространстве, где параллельность аксиоматически принята, то какие-то две прямые, если не имеется факта их практического пересечения, объявляются в этом пространстве параллельными.
Никаких иных геометрических доказательств в этом случае не существует.

Никак это не доказать, то чего нет, доказать невозможно, все параллельные прямые пересекаются на бесконечности (в бесконечно удаленной точке)... И не надо с этим спорить, это знают все, кроме некоторым одаренных математиков этого форума (сайта).