Помогите решить Задача как Вася и Петя решали задачи,каждый день на 1/2 больше. Как решить?.

а) Может ли быть в сборнике 85 задач?
Вася в 1 день решил x задач, во 2 день x+1 задач, и т.д., в n день x+n-1 задач.
Всего S1 = (a1 + an)*n/2 = (x + x + n - 1)*n/2 = (2x + n - 1)*n/2 = 85
Петя в 1 день решил y задач, во 2 день y+2 задач, и т.д., в n день y+2n-2 задач.
Всего S2 = (a1 + an)*n/2 = (y + y + 2n - 2)*n/2 = (2y + 2n - 2)*n/2 = (y + n - 1)*n = 85
Получаем систему:
{ (2x + n - 1)*n = 2*85 = 170
{ (y + n - 1)*n = 85
Поскольку все переменные натуральные, очевидно, что 85 делится на n. Отсюда n = 5 или n = 17
1) n = 5
{ (2x + 4)*5 = 170
{ (y + 4)*5 = 85
Делим на 10 первое уравнение и на 5 второе уравнение.
{ x + 2 = 17; x = 15
{ y + 4 = 17; y = 13
Такое может быть.
2) n = 17
{ (2x + 16)*17 = 170
{ (y + 16)*17 = 85
Делим на 10 первое уравнение и на 5 второе уравнение.
{ x + 8 = 10; x = 2
{ y + 16 = 5; y = -11 < 0 - Не может быть.
Ответ: В 1 день Вася решил 15 задач, Петя решил 13 задач, и они решили всё за 5 дней.
б) Может ли быть в сборнике 213 задач, если n > 3?
Вася в 1 день решил x задач, во 2 день x+1 задач, и т.д., в n день x+n-1 задач.
Всего S1 = (a1 + an)*n/2 = (x + x + n - 1)*n/2 = (2x + n - 1)*n/2 = 213
Петя в 1 день решил y задач, во 2 день y+2 задач, и т.д., в n день y+2n-2 задач.
Всего S2 = (a1 + an)*n/2 = (y + y + 2n - 2)*n/2 = (2y + 2n - 2)*n/2 = (y + n - 1)*n = 213
Получаем систему:
{ (2x + n - 1)*n = 2*213 = 426
{ (y + n - 1)*n = 213
Мы знаем, что n > 3, а 213 = 3*71, поэтому n = 71
{ (2x + 70)*71 = 426 = 6*71
{ (y + 70)*71 = 213 = 3*71
Делим оба уравнения на 71
{ 2x + 70 = 6; 2x = -64 < 0 - Не может быть.
{ y + 70 = 3; y = -67 < 0 - Не может быть.
Ответ: этого не может быть.
в) n = 16, S < 300
У Васи: S1 = (2x + n - 1)*n/2 = (2x + 15)*16/2 = (2x + 15)*8 < 300
Очевидно, 2x + 15 >= 17, поэтому S1 >= 17*8 = 136
Числа от 136 до 300, кратные 8:
136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232, 240, 248, 256, 264, 272, 280, 288, 296.
Заметим, что в случае Васи 2x + 15 - число нечетное, поэтому выпадают числа, которые при делении на 8 дают четное.
Остаются: 136, 152, 168, 184, 200, 216, 232, 248, 264, 280, 296.
Возьмем наибольшее количество дней, то есть 296. Пусть Петя решил все задачи за m дней.
(y + m - 1)*m = 296 = 37*8
m = 2, 4, 8 или 37.
1) m = 8
(y + 7)*8 = 296
y + 7 = 37; y = 30 - за 1 день решить 30 задач трудно, но можно.
Но на 8 день решить 30 + 14 = 44 задачи уже почти нереально.
Пробовать m = 2 и m = 4 смысла нет.
2) m = 37
(y + 36)*37 = 296
y + 36 = 8; y < 0 - не может быть.
Получили, что 296 задач могло быть, но с трудом. Тогда в 1 день Петя решил 30 задач и решал их 8 дней.
Попробуем еще 280 = 8*35 = 5*7*8
Тогда для Васи:
(2x + 15)*8 = 280
2x + 15 = 35; 2x = 20; x = 10
Делители числа 280 могут быть m = 8, 10, 14, 20, 28, 35. Значения больше и меньше этих брать нет смысла.
1) m = 8
(y + 7)*8 = 280
y + 7 = 35; y = 28
2) m = 10
(y + 9)*10 = 280
y + 9 = 28; y = 21
3) m = 14
(y + 13)*14 = 280
y + 13 = 20; y = 7
4) m = 20
(y + 19)*20 = 280
y + 19 = 14; y = -5 < 0 - не может быть.
Самый лучший вариант: В задачнике было 280 задач, в 1 день Петя решил 7 задач, и решал их 14 дней.
А Вася в 1 день решил 10 задач и решал их 16 дней.