В какое максимальное число раз может увеличиться и в какое максимальное число раз может уменьшиться сумма цифр натурального числа при его умножении на 8?
Ответ я знаю, в 8 раз в обоих случаях.
1*8 = 8 - сумма цифр увеличилась в 8 раз
125*8 = 1000 - сумма цифр уменьшилась в 8 раз.
Вопрос - как это доказать?

Для начала отметим, что сумма цифр числа, получившегося в результате сложения двух других чисел, меньше либо равна суммы цифр этих двух чисел. Чтобы было нагляднее, можно записать это утверждение в виде формулы.
S(С) = S(А + В) ≤ S(А) + S(В).
Ведь при a(i) +  b(i) < 10,  c(i) = a(i) + b(i), если а(i-1) + b(i-1) < 10, либо c(i) = a(i) + b(i) + 1, если а(i-1) + b(i-1) ≥ 10. Но в случае, если а(i-1) + b(i-1) ≥ 10, с(i-1) ≤ а(i-1) + b(i-1) - 9, и тогда с(i) + c(i-1) = а(i) + b(i) + 1 + а(i-1) + b(i-1) - 9 < а(i) + b(i) + а(i-1) + b(i-1). Ну а при а(i) + b(i) ≥ 10, с(i) ≤ а(i) + b(i) - 9 < а(i) + b(i).
Применив индукцию, получаем
S(A1 + A2 + ... + An) ≤ S(A1) + S (A2) + ... S (An), и как частный случай
S(n*A) ≤ n*S(A), из чего также следует
S(A*B) ≤ S(A)*S(B).
Как уже было отмечено в пояснении к вопросу, 8 * 125 = 1000, то есть S(8*125) = S(1000) = 1.  При этом  S(А) = S(1000*А) = S(125*8*А), что меньше либо равно S(125)*S(8*А) = 8*S(8*А). Таким образом, получили
S(A) ≤ 8*S(8*A),
то есть сумма цифр натурального числа при его умножении на 8 максимально может увеличиться в восемь раз.
А учитывая, что
S(8*A) ≥ S(A)/8,
и уменьшиться такая сумма может не более чем в восемь раз.
                                                                              

Вопрос сильно пахнет софистикой (это когда при неправильном посыле, пытаются сделать общий правильный вывод, используя логичные, на первый взгляд, действия).
Вот и у вас в части максимального увеличения числа все довольно справедливо. Если каждую цифру натурального числа умножать на 8, то вроде бы логично, что и сумма цифр у произведения этого числа на 8 должна вырасти в 8 раз. Про уменьшение вообще можно не говорить, ибо это частный случай, коих можно найти несколько, но в системное правило это не выражается.
Даже в случае увеличения, просто возьмите другое число, например 521.
Сумма цифр = 8. Произведение 521 * 8 = 4168 (сумма цифр = 19). Т.е. сумма цифр увеличилась в 2 раза с хвостиком.
Мне лень перепроверять разные числа, возьмите хотя бы исходное число 123 и при умножении его на 8 тоже не получите восьмикратного увеличения суммы цифирей.
Так что, полагаю, что доказывать тут нечего - голая софистика.

Оттолкнемся от ваших примеров. Они доказывают, что при умножении какого-либо натурального числа сумма его цифр может увеличиться в 8 раз (например, 10*8, 55*8 или 101* или уменьшиться тоже в 8 раз (1250*. Попробуем доказать это от противного.
Предположим, что сумма цифр может увеличиться более чем в 8 раз.
Если сумма цифр равна 1, то понятно, что можно найти такие числа, когда сумма цифр увеличивается более чем 8 например 37*8 = 296. В этом случае сумма цифр увеличивается в 17 раз. То же самое при умножение 46 на 8, 73 на 8, 91 на 8. Значит предположение о том, что сумма цифр увеличивается максимально в 8 раз неверно. При проверке трехзначных чисел получаем такой же результат 271*8=2168. Можно выдвинуть гипотезу, сумма цифр натурального числа при его умножении на 8 максимально может увеличится в 17 раз.
Если сумма цифр равна 2, то наверное сумма цифр произведения не будет в 17 раз меньше.
Теперь об уменьшении. Произведение натурального числа должно быть таким, чтобы сумма цифр была равна 1. например, 1000, 10000, 280, 2800, 20800 и т.д. Первый вариант рассмотрен автором, мои примеры 35*8=280 или 2600*8=20800 тоже говорят об уменьшении в 8 раз. А вот пример 4625*8=37000 опять говорит о том, что есть такие натуральные числа сумма цифр которых при умножении на 8 уменьшается в 17 раз. Надо теперь доказать эту гипотезу.

Задача в корне не верна. Если берётся вопрос про натуральное число, то и цифры должны иметь натуральный ряд и вид, то есть следовать одно за другим. Так число 125 не удовлетворяет условию задачи. Должны быть цифры рядом с максимальной. Например: 345, 456, 567, если для примера взято любое трёхзначное число. Либо в условие должно было быть написано: "Любое число с любым количеством знаков..."
Так же исключены из внимания 0 (ноль) и отрицательные числа. Если составлять программу на бейсике, а тем более на ассемблере, программа остановится по ошибке деления на ноль. Подобного рода вопросы надо создавать из головы, а не списывая в интернете, и подробнее останавливаться в дополнении с пояснением. В интернете, часто ошибочные задачи, которые при проверке на ЭВМ не решаются, а вылетают или стопорятся по ошибке. Потому что процессор оперирует со всеми числами, а человек задавая подобную задачу, забывает об ошибках и возможных исключениях.