Объясните, пожалуйста, максимально развёрнуто и просто принцип решения задач по логарифмам из ЕГЭ, типа:

• Найдите корень уравнения: log2(4-x)=7
• Найдите корень уравнения: log5(5-x)=log5(3)
• Найдите корень уравнения: log4(x+3)=log4(4x-15)

Ещё вот такие.

Для решения задач с логарифмом надо знать его определение и свойства.
По определению: логарифм числа - это степень в которую надо возвести основание, чтоб получить это число (аргумент)
logₐb = n. Означает aⁿ = b
Иногда это тяжело запомнить. Поэтому проще запомнить на конкретном примере и его держать в голове.
Пример: мы знаем, что такое 2 в степени 3. Это 2•2•2 = 8.
То есть 2³ = 8
А теперь другая задача: В какую степень надо возвести 2, чтоб получить 8?
Это записывается log₂8 = ? И мы знаем, что ответ = 3
А зная определения показательной функции, понимаем, что в степень возводить можно только положительное число и получать будем положительное число.
Поэтому a>0 и b>0. Так же при возведении "1" в любую степень будет "1". Поэтому не имеет смысла решать логарифм при основании a = 1.
Ну а теперь к примерам. Рекомендую, всегда, даже в простых примерах начинать с ОДЗ (или в конце делать проверку)
log₂(4-x) = 7 ... | ОДЗ: 4-х > 0  или х < 4
Означает 2⁷ = 4-х
128 = 4 - х
х = -124 (удовлетворяет ОДЗ)
log₅(5-x) =  log₅3 ... | ОДЗ: 5-х > 0  или х < 5
Слева и справа записана степень пятерки и 5 в этой степени будет одно и то же число
То есть, при равенстве логарифмов (степеней) - равны и аргументы
5-х = 3
х = 2 (удовлетворяет ОДЗ)
log₄(x+3) = log₄(4x-15) ... | ОДЗ: (х+3 > 0 и 4х-15 > 0) или (х > -3 x > 3,75) => x > 3,75
аналогично, при равенстве логарифмов (степеней) равны и аргументы
х+3 = 4х-15
3х = -12
х = -4 (не удовлетворяет ОДЗ)
=> нет решений.
Задание 11: log₈2⁸ⁿ⁻⁴ = 4  ... | ОДЗ: (2⁸ⁿ⁻⁴ > 0 - это верно для любого n) или n - любое
Это означает 8⁴ = 2⁸ⁿ⁻⁴
(2³)⁴ = 2⁸ⁿ⁻⁴
2¹² = 2⁸ⁿ⁻⁴
Основания равны, значит равны степени
12 = 8n - 4
n = 2 ( удовлетворяет ОДЗ )
Задание 12: 2^log₈(5x-3) = 4 ... | ОДЗ: 5x-3 > 0 или x > 0,6
Представим справа 4 = 2², чтоб были равные основания в показательном уравнении
2^log₈(5x-3) = 2² (основания равны, значит равны степени у 2)
log₈(5x-3) = 2
8² = 5х-3
5х = 19
х = 3,8 ( удовлетворяет ОДЗ )
Задание 14: log₂(x/6) = log₀,₅(x+1)... | ОДЗ: (x/6 > 0 и x+1 > 0) или (х>0 и x>-1) => x>0
При равенстве логарифмов надо постараться привести их к одному основанию
Представим у логарифма справа основание 0,5 = 1/2 = 2⁻¹
То есть: log₀,₅(x+1) = -log₂(x+1)
Получаем: log₂(x/6) = -log₂(x+1)
(х/6)ⁿ = (х+1)⁻ⁿ
(х/6)ⁿ = (1/(х+1))ⁿ
х/6 = 1/(х+1) (домножим 6 и на х+1≠0)
x²+х = 6
х² + х - 6 = 0
D = 25
x₁ = (-1-5)/2 = -3 (не удовлетворяет ОДЗ)
x₂ = (-1+5)/2 = 2 ( удовлетворяет ОДЗ)
Ответ: 2