Дизайнер, чтобы дополнить прекрасный рисунок в виде равнобедренного треугольника на стене заказчика, решил провести прямую. Автор рисунка, являясь большим любителем геометрии, решил провести её следующим образом: она пройдёт через вершину угла при основании и разделит исходный треугольник на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным. Помогите дизайнеру найти углы исходного равнобедренного треугольника.�

К сожалению дизайнер был плохим знатоком геометрии, раз ему нужна помощь
Ну и скудность знаний в предмете ему подготовила сюрприз из - за того что толком сформулировать желание свое не смог. Ну что с него взять? Он дизайнер - он так видит.
Сюрприз заключается в том, что у задачи 2 различных решения.
Разберем по порядку: Есть исходный равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). И через вершину A проведем прямую AD, которая разобьет на на 2 треугольника: ∆ABD и ∆ADC и они должны быть равнобедренными. Пойдем перебирать по порядку возможные варианты.
Посмотрим на ∆ABD.
I.  У него AB не может равняться BD (AB=BC и BD<BC)
II. Возможен вариант: AD = BD
Рассмотрим 1) случай.
У ∆ADC: AD = AC
Тогда обозначим угол при вершине ∠B = α, Поскольку ∆ABD - равнобедренный, то ∠DAB=∠DBA = α.
Тогда ∠ADC = α+α = 2α (внешний угол ∆, равен сумме двух углов ∆ не смежных с ним)
Поскольку ∆ADC - р/б, то ∠ACD = ∠ADC = 2α
Поскольку ∆ABC - р/б, то ∠C = ∠A = 2α
Сумма углов ∆ = 180˚ Получаем 2α + 2α + α = 180˚
5α = 180˚
α = 36˚; 2α = 72˚
∠B =36˚; ∠C = ∠A = 72˚
2) случай
У ∆ADC: DС = AC
Тогда обозначим угол при вершине ∠B = α, Поскольку ∆ABD - равнобедренный, то ∠DAB=∠DBA = α.
Тогда ∠ADC = α+α = 2α (внешний угол ∆, равен сумме двух углов ∆ не смежных с ним)
Поскольку ∆ADC - р/б, то ∠CAD = ∠ADC = 2α
∠A = ∠DAB + CAD = α + 2α = 3α
Поскольку ∆ABC - р/б, то ∠C = ∠A = 3α
Сумма углов ∆ = 180˚ Получаем 3α + 3α + α = 180˚
7α = 180˚
α ≈ 25,71˚; 3α ≈ 77,14˚
∠B = 25,71˚; ∠C = ∠A = 77,14˚
3) случай
У ∆ADC: AD = DC
Но тогда ∠DCA = ∠DAC = ∠BAC (так как ∆ABC - р/б). То есть AD должна совпасть с AB), но тогда не получится 2 треугольника, что не соответсвует условию.
III.
В ∆ABD возможно AB = AD
Тогда смотрим ∆ADC:
AD = AC - быть не может, так как, в этом случае B, D, C равноудалены от точки A, то есть лежат на окружности и при этом лежат на одной прямой. Чего быть не может. У прямой с окружностью не более 2 точек пересечения.
AD = DC - быть не может, так как AD = AB = BC, а DC < BC, значит DC < AD
AC = DC (вот это "гвоздь" этой задачи). Покажем, что так быть не может.
Дело в том, что AC будет наибольшей стороной в ∆ADC, Так как ∠ADC - тупой (внешний к острому углу у основания р/б ∆ - а он может только острым). То есть ∠ADC - самый большой в ∆ADC (два других только острые). А напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона;
Таким образом AC > DC
Ответ: 2 варианта. 1) ∠B =36˚; ∠C = ∠A = 72˚; 2) ∠B = 25,71˚; ∠C = ∠A = 77,14˚