На каждой грани выпуклого многогранника построили вектор, перпендикулярный этой грани и по длине численно равный площади этой грани. То есть, если площадь грани равна 2 кв.см, то длина вектора равна 2 см, и так для всех граней.
Как доказать, что сумма этих векторов равна нулю?

Вот нашел доказательства:
"Представим себе, что замкнутый сосуд, внутренняя полость которого имеет форму нашего многогранника, заполнен газом под давлением P и помещен в пустоту (внешние силы– вес и т.п. отсутствуют). Тогда сила давления газа на грань площади S равна PS и направлена перпендикулярно к этой грани во внешнюю сторону (как коротко говорят, "по внешней нормали" к грани). Конечно, можно принять P равным 1 ; тогда силы, действующие на грани, будут равны тем векторам, о которых идет речь в условии задами. Так как сосуд не может двигаться с ускорением под действием лишь внутренних сил, то векторная сумма этих сил, т.е. сумма наших векторов, равна нулю.
Приведем и чисто математическое доказательство. (Мы не будем здесь подробно обсуждать интересный вопрос о том, в какой мере проведенное выше рассуждение можно считать "строгим доказательством". Заметим, что все используемые в нем физические понятия и законы можно было бы ввести в рамках строгой математической "дедуктивной" теории: понятия получили бы точные определения, законы – строгие доказательства, а данные опыта рассматривались бы как подтверждение полезности определений и теорем; но в школьном – да и не только в школьном – курсе физики такой подход не очень популярен. К тому же, чтобы осуществить такую "формализацию" курса физики, школьного курса математики было бы явно недостаточно. Для решения же нашей задачи вполне хватит и школьной математики.)
Нам понадобится такая лемма (ее доказательство мы даем в конце решения): если многоугольник имеет площадь S и его плоскость образует с некоторой плоскостью π угол α (0 < α < 90o) , то площадь проекции этого многоугольника на плоскость π равна S cos α .
Возьмем произвольную ось (направленную прямую) l и перпендикулярную ей плоскость π . Спроектируем все грани нашего многогранника на плоскость π, а соответствующие им векторы– на ось l . Если площадь одной из граней равна S , а угол, образуемый ее "внешней нормалью" с осью l , равен α , то проекция вектора на ось l равна (с учетом знака) S cos α , а площадь проекции грани на плоскость π равна |S cos α| . Мы пишем знак модуля, потому что угол α может быть не только острым (рис. a; грани, для которых cos α ≥ 0, мы называем верхними), но и тупым (рис.б; грани, для которых cos α <0, мы называем нижними).
Рассмотрим теперь многоугольник, в который проектируется наш многогранник (на плоскость π). Этот многоугольник, как видно из рис. а и б, можно составить из проекций всех верхних граней, а можно – из проекций всех нижних граней. (Здесь мы пользуемся тем, что многогранник – выпуклый, поэтому на каждой прямой, параллельной l и пересекающей многогранник, найдется одна точка, принадлежащая верхним граням, и одна – нижним). Поэтому, если отделить среди чисел S cos α положительные и отрицательные, то сумма тех и других по модулю будет одинаковой. Следовательно, сумма всех чисел S cos α , соответствующих разным граням, равна 0.
Итак, сумма проекций наших векторов на ось l , или, что то же самое, проекция их суммы на ось l равна 0 . Но ось l выбрана произвольно, следовательно, сумма векторов равна 0."
                                                                              

Определение. Пусть дан выпуклый многогранник. Множество векторов, перпендикулярных граням и равным площади грани, назовём ежом данного многогранника.
Утверждение. Сумма этих векторов равна нулю
Доказательство. Любой многогранник можно разбить на множество тетраэдров (многогранников, у которого 4 грани, представляющие собой треугольники). Еж исходного многогранника равен сумме ежей тетраэдров. Если мы докажем, что для ежа тетраэдра выполняется утверждение, что сумма его векторов равна нулю, то из этого будет следовать, что сумма векторов исходного многогранника также равна нулю, поскольку вектора соприкасающихся граней тетраэдров сокращаются (они равны и направлены в противоположные стороны).
Остается доказать, что сумма векторов произвольного тетраэдра равна нулю.
Пусть дан тетраэдр ABCD. Введем обозначения:
Вспомним, что векторное произведение двух векторов a x b по определению есть вектор, перпендикулярный плоскости двух первых векторов, и его длина равна произведению длин векторов a и b на синус угла между ними. Попутно заметим, что это будет удвоенная площадь треугольника, образованного векторами a и b.
Теперь запишем сумму векторов тетраэдра, перпендикулярных его граням (их длина будет равна удвоенной площади граней):
a x b + b x c + c x a + (a - b) x (c - b)
Здесь мы выразили вектора CB и CD через вектора a, b и c. Далее получаем:
a x b + b x c + c x a + a x c - b х c - a х b + b х b = c x a + a x c + b х b = 0
Поскольку b х b = 0 (угол между векторами = 0) и c x a + a x c = 0 в силу антикоммутативности векторного произведения (результирующие вектора смотрят в разные стороны).
Утверждение доказано.
P.S. Физическое решение, где в многогранник накачивается газ, который давит на грани силой, равной площади граней, и где утверждается, что сумма сил равна нулю, поскольку многогранник никуда не поедет, - красивое, но не строгое. Сумма сил равна нулю в покое. Но почему многогранник никуда не поедет, в физическом решении не объясняется. А вдруг для нашего многогранника общая физика неадекватно описывает реальность?
Так что уж пусть для математических задачек останутся строгие математические расчеты с абсолютной точностью, а не с практической, как в физике.