Главное меню

Новости:

SMF - Just Installed!

Как решить уравнение в целых числах 12x-5y=4?

Автор Moha, Март 14, 2024, 02:33

« назад - далее »

Moha

Как решить Как решить уравнение в целых числах 12x-5y=4?.

Ofa

Это алгебраическое уравнение с двумя неизвестными, в котором все коэффициенты -- целые числа,  решения отыскиваются тоже в множестве целых чисел, называется НЕОПРЕДЕЛЕННЫМ или ДИОФАНТОВЫМ уравнением.
Решим это уравнение так называемым методом остатков от деления.
Перепишем уравнение в виде: 5у = 12х - 4.
Очевидно, что левая часть уравнения делится на 5, следовательно, и правая должна делиться на 5.
Рассмотрим несколько случаев.
1) Пусть х = 5к. Тогда 5у = 12*5к - 4 = 60к - 4. Правая часть на 5 не делится. Этот случай исключается.
2) Пусть х = 5к + 1. Тогда 5у = 12*(5к + 1) - 4 => 60к + 12 - 4 = 60к + 8 => тоже не делится, значит, исключается.
3) пусть х = 5к + 2 и 5у = 12*(5к + 2) - 4 => 60к + 24 - 4 => 60к + 20. И левая, и правая части делятся на 5.
Рассматриваем именно этот случай.
х = 5к + 2, у = 12к + 4, где к принадлежит множеству целых чисел.
Подставляя разные значения целых чисел вместо к, получаем решения данного уравнения.
Например. к = 0 => х = 2, у = 4. Это одно решение. к = 1 => х = 7, у = 16 -- второе решение. Пусть к = 5, тогда х = 27, у = 64.  И так далее, и так далее. В результате получится бесконечно много решений этого уравнения, в чем нетрудно убедиться, выбирая разные значения к.
Проверку, я думаю, может произвести автор вопроса самостоятельно. Это тоже нетрудно   
                                                                              

Tondile

частное решение x=2, y=4. Общее решение x=2+5t, y=4+12t. Здесь t - произвольное целое число. Те взяв любое целое t (для частного решения t=0) Вы получите одно из частных решений.

Ierink

Одно уравнение 12x-5y=4 с двумя неизвестными не имеет одного конкретного решения. Этому уравнению могут соответствовать множество пар чисел для х и y, значения каждого из них можно выбирать так чтобы 12х-4 было кратно 5, а 5y+4 кратно 12. Например при х=2 получаем уравнение 24-5y=4, 5y=20, y=4; при y=28, 12х-140=4, 12х=144, х=12.

Ofa

Насколько я знаю, это уравнение из книги по контрольным работам Глизбурга для 11 классов. Я пытался решить это сам, вспоминая уроки моей учительницы по математике (та еще женщина). Но решил я как то по своему. Ответ вроде у меня получился правильным x=2 y=4. Но фотку с решением нашел позже из интернета.