если к произведению двух последовательных натуральных чисел прибавить большее из них

Докажем методом математической индукции.1).Проверяе�м для числа 1.То есть 1х2+2=4. То есть 2 в квадрате=4.2)Предпол�агаем что верно для п=к.То есть к(к+1)+(к+1)=(к=1)^2�.3)Доказываем что верно для п=к+1.Доказательство�.(к+1)(к+2)+(к+2)=(к+�1+1)(к+2)=(к+2)(к+2)=SHY(k+2)^2.И так тоже можно доказать.
                                                                              

Да, учитывая, что n- натуральное число, и следующее за ним будет n+1 можно записать условие
n(n+1)+(n+1). Далее выносим (n+1) за скобки и получим (n+1)(n+1), как понимаем это и будет нужный нам для доказательства ответ (n+1)^2

Нужно вспомнить, что умножение - это есть не что иное, как многократное сложение.
Прибавление ещё одного числа к уже имеющейся сумме приводит к тому, что большее число сложено само с собою столько раз, каково его собственное значение, математически - это его квадрат.

Просто. Смотрите, первое число х, второе х-1
Упрощаем выражение
х*(х-1)+х
х^2-х+х
остается х^2 доказано