Пусть n=36500. Среди вершин правильного n-угольника A1, А2 .. ; An красным цветом покрашены вершины Ai, для которых номер i является степенью двойки, т.е. i=1, 2, 4, 8, 16,....; Сколькими способами можно выбрать 500 вершин данного n-угольника так, чтобы они являлись вершинами правильного 500-угольника и ни одна из них не была красной?

Разделим 36500 на 500:
36500/500 = 73.
Значит, в данном правильном n-угольнике можно построить 73 различных правильных 500-угольника, причём первая точка у любого из них имеет один из номеров от 1 до 73.
Из них сразу исключаем 7 правильных 500-угольников, содержащих точки с номерами:
2^0 = 1; 2^1 = 2; 2^2 = 4; 2^3 = 8; 2^4 = 16; 2^5 = 32; 2^6 = 64.
Так как
2^7 = 128 = 73+55 и
2^8 = 256 = 73*3+37, то исключаем ещё 2 правильных 500-угольника, содержащих точки с номерами 37 или 55.
Далее видим, что точкам с номерами
2^9 = 512 = 73*7+1,
2^10 = 1024 = 73*14+2,
2^11 = 2048 = 73*28+4,
2^12 = 4096 = 73*56+8,
2^13 = 8192 = 73*112+16,
2^14 = 16384 = 73*224+32,
2^15 = 32768 = 73*448+64 (следующая степень двойки превысит 36500)
соответствуют уже исключённые 500-угольники, содержащие точки 1, 2, 4, 8, 16, 32 и 64.
Таким образом, из 73 возможных 500-угольников исключено 8. И следовательно, в соответствии с условиями задачи можно построить лишь 73-8 = 65 правильных 500-угольников.
Ответ: 65.