В некотором государстве 10 городов и 21 автодорога, каждая из которых связывает какие-то два города. Между городами устанавливается железнодорожное сообщение, исходя из принципа экономии: железная дорога между двумя городами прокладывается тогда и только тогда, когда автомобильная дорога между этими городами отсутствует. Сколько железных дорог будет построено?

Предположим, что города расположены хаотично (в обычной жизни так и происходит, ни одно государство не строит города с учётом правильного расположения на карте). Вероятность того, что какой-то из 10 городов находится на прямой, проходящей через два других города - стремится к нулю, значит, отбрасываем её.
Города образуют десятиугольник, выпуклый или нет - неважно, не выпуклые многоугольники тоже образуют диагонали. Так вот, количество всех возможных дорог между ними - это количество 10 сторон десятиугольника + количество его диагоналей. Последнее вычисляется по формуле d = n(n-3)/2. Вычисляем: 10*(10-3)/2 = 35. Прибавляем 10, получаем 45.
Итак, количество всех возможных дорог между городами - 45. Но 21 автомобильная дорога уже есть. А как мы помним, по  условию задачи, там где автомобильная дорога уже есть - железную решили не прокладывать. Значит, отнимаем от 45 21 - и получаем 24.