Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита?

Пусть сумма кредита составляет Х рублей.
На первый месяц Сергей выплачивает Х/9 рублей.
На второй месяц сумма долга увеличивается на 12%, то есть составляет (Х + Х/9) * 1.12 рублей. Сергей должен выплатить эту сумму минус Х/9 рублей.
На третий месяц сумма долга увеличивается на 12% еще раз, то есть становится ((Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12/9) рублей. Сергей должен выплатить эту сумму минус (Х + Х/9) * 1.12/9 рублей.
Продолжая таким образом, для каждого месяца сумма долга будет увеличиваться на 12% и Сергей будет выплачивать эту сумму, минус вклад предыдущего месяца.
В итоге, после 9 месяцев, общая сумма, уплаченная Сергеем банку, составит:
Х/9 + ((Х + Х/9) * 1.12 - Х/9) + ((Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12/9 - (Х + Х/9) * 1.12/9) + ...
= Х/9 + ((Х + Х/9) * 1.12 - Х/9) + ((Х + Х/9) * 1.12) + ... + ((Х + Х/9) * 1.12) * (1 - 1/9) - Х/9)
= Х/9 + (Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12 * (1 - 1/9) + ...
= Х/9 + (Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12 * (1 - 1/9) + ... + (Х + Х/9) * 1.12 * (1 - 1/9) * (1 - 1/9) * ... * (1 - 1/9)
= Х/9 + (Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12 * (1 - 1/9) + ... + (Х + Х/9) * 1.12 * (1 - 1/9) * (1 - 1/9) * ... * (1 - 1/9)
= Х/9 + (Х + Х/9) * 1.12 + (Х + Х/9) * 1.12^2 + ... + (Х + Х/9) * 1.12^8
= Х/9 * (1 + 1.12 + 1.12^2 + ... + 1.12^8) + Х * (1/9 + 1.12/9 + 1.12^2/9 + ... + 1.12^8/9)
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с коэффициентом 1.12 меньше 9, так как 1.12 < 1. То есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с коэффициентом 1.12 равна S = 9/(1 - 1.12) = 9/-0.12 = -75 рублей.
Сумма уплаченная Сергеем банку будет Х * (-75/9) = -8.33 * Х рублей.