Пробовал, конечно, решать самостоятельно. Не получилось, увы.
Пробовал левую часть раскладывать на множители и так, и сяк. Добавлял и затем отнимал разные слагаемые, содержащие икс-квадрат. Не выходит!
Как же решить такое уравнение? Интересно, входит ли оно в школьную программу? Может ли попасться на ЕГЭ?

Начну с последнего вопроса. В школьную программу входят решения кубических уравнений, но они делятся на различные классы кубических уравнений. И в базовом изучении алгебры проходят только определенные кубические уравнения с рациональными корнями.
В старших классах с углубленным изучением математики проходят формулу Кордано, при помощи которой можно решить данное уравнение. Но проходят этот материал в ознакомительном характере. То есть именно такое уравнение в задании ЕГЭ не попадётся. А вот, что то из разряда оценки.
Давайте, оценим силами обычного школьника.
В общем виде кубическое уравнение выглядит: ax³ + bx² + cx + d = 0
Если имеется рациональны корень х = p/q, то d делится на p и a делится на q
В нашем уравнении a=1; d=-1, То есть p и q могут быть только ±1
То есть х = ±1, но эти значения не являются решением. Значит данное уравнение не имеет рациональных корней.
Дальше можно исследовать функцию: f(x) = x³ - 3x - 1
Взяв производную и приравняв к нулю f'(x) = 3x² - 3 = 0
Находим точки экстремумов: х = -1 и х = 1
Методом интервалов понимаем, что от -∞< х ≤ -1 - возрастает
что от -1 ≤ х ≤ 1 - убывает
что от 1 ≤ х ≤ +∞ - возрастает     
f(-1) = 1 - локальный максимум
f(1) = -3 - локальный минимум
Таким образом получаем, что график пересечет ось Ox три раза. Будет три действительных корня.
х(1) ∈ (-∞; -1)
х(2) ∈ (-1; 1)
х(3) ∈ (1; +∞)
Посчитав f(-2) = -3; f(0) = -1; f(2) = 1, Получим, что два отрицательных корня
х(1) ∈ (-2; -1)
х(2) ∈ (-1; 0)
и один положительный
х(3) ∈ (1; 2)
Это то что может сделать обычный школьник.
Школьнику с углубленными знаниями. Сразу дали уравнение в каноническом виде.
x³ + px + q = 0
вспоминая формулу куб суммы: (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a+b)³ = 3ab(a + b) + a³ + b³
(a+b)³ - 3ab(a + b) - (a³ + b³) = 0
Получаем: при х = (a+b)
х³ - 3abx - (a³ + b³) = 0; сравнивая с нашим уравнением. Получим a•b = 1 и (a³ + b³)=1
обозначим с = a³; d = b³, тогда c + d = 1; с•d = (a•b)³ = 1, откуда d = 1-c
и подставив c•(1-с) = 1
с² - с + 1 = 0
D = 1 - 4 = -3
c₁,₂ = (1 ± i√3)/2 = 1/2 ± i√3/2
d₂,₁ = 1/2 ± i√3/2
Получаем
х = ∛с + ∛d = ∛(1/2 + i√3/2) + ∛(1/2 - i√3/2)
Другая пара корней с и d даст такой же результат.
Для окончательного решения следует отметить, что тут комплексная запись числа. Но как мы уже знаем, что будет три действительных корня.
Поэтому в решении берем только действительные значения
Большего обычный школьник сделать не сможет.
Ответ: х - три действительных корня рассчитываемых по формуле: х = ∛(1/2 + i√3/2) + ∛(1/2 - i√3/2)
                                                                              

В школьной программе изучается всем известный метод решения таких уравнений как графический.
В данном случае можно воспользоваться этим методом. Для этого напишем уравнение в таком виде x^3=3x+1. Как видим в левой части только куб переменной х (или кубическая функция) а в правой части линейная зависимость, то есть будем рассматривать две функции y=x^3 и y=3x+1. Далее строим графики этих функций на одной координатной системе. Находим точки пересечения этих графиков и определяем абсциссы этих точек. Это и решение, то есть корни уравнения. Конечно чаще всего корни уравнений при графическом решении получаются приблизительными. У меня в данном случае получились такие примерные значения х1=-1,6, х2=-0,3, х3=1,9.
На ЕГЭ и ОГЭ подобные задачи встречаются, но там задания такие. Например, определить число корней на промежутке или число отрицательных корней и так далее.

Это вообще то довольно известный тип уравнений. Решается оно тригонометрической заменой!

Есть несколько способов решения уравнения x^3 - 3x - 1 = 0 без компьютера. Один из таких способов - использовать метод Ньютона. Для этого нужно:
Найти приближенное значение решения, например, x = 1.
Используя это приближение, вычислить следующее приближение с помощью формулы: x1 = x0 - f(x0) / f'(x0), где x0 - предыдущее приближение, f(x) - уравнение, f'(x) - производная уравнения.
Продолжать вычислять следующие приближения, используя каждый раз предыдущее приближение вместо x0, пока разность между двумя последними приближениями не станет меньше некоторого заданного значения (например, 0.0001).
Применяя этот метод к уравнению x^3 - 3x - 1 = 0, можно получить следующие приближения:
x0 = 1
x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 1 - (-3) / (3*1^2 - 3) = 1.6666666667
x2 = x1 - f(x1) / f'(x1) = 1.6666666667 - (5.1851851852) / (10.4444444444) = 1.4334486736
x3 = x2 - f(x2) / f'(x2) = 1.4334486736 - (1.0520061014) / (4.0793940733) = 1.3247179572
x4 = x3 - f(x3) / f'(x3) = 1.3247179572 - (0.1344427791) / (2.8056204401) = 1.3203659368
После нескольких итераций, разность между последними двумя приближениями становится меньше 0.0001, поэтому можно считать, что решение уравнения - это x = 1.3203659368 (с некоторой погрешностью).

Для решения уравнения x^3 - 3x - 1 = 0 без компьютера можно воспользоваться методом Ньютона (методом касательных).
Сначала выбираем начальное приближение x_0. Например, x_0 = 1.
С помощью формулы x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n), где f(x) = x^3 - 3x - 1 и f'(x) = 3x^2 - 3, находим следующее приближение x_1.
Подставляем найденное значение x_1 в формулу и находим следующее приближение x_2.
Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока не достигнем заданной точности.
Полученное решение может быть проверено подстановкой в исходное уравнение.
Данный метод можно использовать для нахождения действительных корней многих алгебраических уравнений, но в школьной программе он, скорее всего, не рассматривается. Но для решения данного конкретного уравнения можно также использовать графический метод, аппроксимационные методы, метод половинного деления и другие методы.

По сути это готовое кубическое уравнение в канонической форме x³+px+q, поэтому его корни можно найти по формуле Кардано.
Для начала вычисляется параметр Q по формуле Q = (p/3)³ + (q/2)². Затем вычисляются ещё два параметра:
α = ³√(-q/2 + √Q)
β = ³√(-q/2 - √Q)
После чего корни уравнения счиаются как
x₁ = α+β
x₂,₃ = (�α+β)/2 ± i√3*(α-β)/2.

Добавлю еще один ответ, чтобы убедить в действенности метода