ABCD - квадрат, диагонали которого пересекаются в точке E. AH - перпендикуляр к плоскости квадрата. Докажите, что прямые HE и BD перпендикулярны.

Смотрим рисунок.
Так как ABCD - квадрат (ромб), то диагонали пересекаются под прямым углом. То есть AE ⟂ BD
Так как AH ⟂ (ABCD), то AE - проекция прямой НЕ на плоскость (ABCD)
По теореме о 3-х перпендикулярах: (прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной) НЕ - наклонная к плоскости (ABCD), BD - прямая в плоскости проходит через точку E - основание наклонной и перпендикулярна к её проекции AE => BD ⟂ HE
Доказательство вообще в одну сточку. Но пришлось расписать теорему о трех перпендикулярах для наполняемости текста.
                                                                              

               Так как ABCD - квадрат, то диагонали пересекаются под прямым углом. То есть ∠AEB = 90 (градусов).
Так как AH ⊥ (ABCD), то AE - проекция прямой HE на плоскость (ABCD).
По теореме о трех перпендикулярах, если HE ⊥ AE и AE ⊥ BD, то HE ⊥ BD.
Из условия задачи HE ⊥ AE, поэтому остается доказать, что AE ⊥ BD.
Треугольник AEB - равнобедренный, так как AE = BE (диагонали квадрата равны и делятся пополам).
Тогда ∠ABE = ∠BAE = (180−90)/2� = 45 (градусов).
Но ∠ABD = 45 (градусов) тоже, так как ABCD - квадрат.
Следовательно, ∠ABE = ∠ABD, и по свойству изоцелесного треугольника AE ⊥ BD.