Из вершины A квадрата ABCD со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр AE длиной 12 см. Докажите, что треугольник BCE - прямоугольный. Найдите его площадь.

Перпендикуляр АЕ восстановлен к плоскости, в которой лежит квадрат АВСD. Обозначим эту плоскость буквой g.
Для решения задачи необходимо вспомнить теорему о перпендикулярности плоскостей:
и нарисовать сопроводительный рисунок:
Через точки Е, А, В проведем плоскость f.
Поскольку прямая АЕ принадлежит плоскости f  и перпендикулярна плоскости g, то по приведенной выше теореме плоскости f и g перпендикулярны.
Поскольку ВС перпендикулярна АВ, то любая прямая плоскости f, проходящая через точку В, будет перпендикулярна ВС, а значит и прямая ЕВ также будет перпендикулярна ВС. Следовательно треугольник ЕВС прямой.
Теперь найдем площадь прямоугольника ЕВС.
Для этого найдем высоту ЕВ (которая в прямоугольном треугольнике ЕАВ играет роль гипотенузы).
ЕВ^2=АЕ^2 + АВ^2 = 144 + 256 = 400
ЕВ = 20 см
Находим площадь:
S(ЕВС) = 0,5*16*20 = 160 (см^2)
Ответ: S(ЕВС) = 160 см^2
                                                                              

Очередная "горе" - задача с "горе" условием.
к чему?
Поскольку ничего не оговаривается, предполагаю что задача по планиметрии и все происходит на плоскости. Что много не писать лишнего, смотрим рисунок. Строим квадрат и строим окружность с центром в точке A и радиусом 12.
  Точка Е где то на окружности. Чтоб получился прямоугольный ∆BCE возможны только два варианта расположения точки Е (на ребре AB и на продолжении ребра AB "точка E2")
при ∠B=90˚
Если ∠С = 90˚, то точка E должна лежать на прямой CD, но тогда AE ≥ 16, что противоречит условию
Если ∠E=90˚, это возможно, только когда BE будет касательной, а AC проходит через точку касания. Как видим по рисунку: AC пересекается с окружностью в точке E1 (AE1 = 12), а AC пересекается с BD (пересечение диагоналей) в другой точке (на расстоянии 4√2 ≠ 12)
Таким образом возможны 2 треугольника:
1) ∆BEC, скатетом BE = 16-12 = 4 и катетом BC = 16
S = 4•16/2 = 32 см²
2) ∆BE2C, скатетом BE2 = 16+12 = 28 и катетом BC = 16
S = 28•16/2 = 224 см²
А может задача пространственная? И надо шар рисовать радиусом 12
И помимо отрезка AE ⟂ плоскости квадрата, как предполагал "горе-составитель" задачи возможны еще варианты? Конечно возможны. Но рассматривать их уже не буду.
Ладно, решим еще вариант, когда AE ⟂ плоскости квадрата.
Рисунок рисовать не буду.
По теореме о трех перпендикулярах BE ⟂ BC => ∆EBC - прямоугольный
Рассмотрим прямоугольный ∆ABE, Катет AB = 16, катет AE = 12, BE² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400; BE = 20
В ∆BCE, катет BC = 16, BE = 20, S = 16•20/2 = 160 см²
Ответ: S = 160 см² (наверное), потому что по корявому условию еще много ответов