Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости восстановлен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

Смотрим рисунок:
ABCD - квадрат и OM ⟂ (ABCD).
1)Проведем ОН ⟂ AB и проведем отрезок MH. ОН будет проекцией MH на плоскость (ABCD) и по теореме о трех перпендикулярах MH ⟂ AB => MH - высота в ∆AMB к стороне AB
2)Смотрим  ∆AOB - равнобедренный (диагонали в квадрате делятся пополам): ОН-высота, медиана и биссектриса => HB = AB/2 = 9 см (медиана делит сторону пополам); ∠HOB = 90˚/2 = 45˚(биссектриса делит угол пополам). А ∠HBO = 45˚(диагональ квадрата делит угол пополам) => ∆OHB - равнобедренный и OH = HB = 9 см
3) Смотрим ∆HOM - прямоугольный. По теореме Пифагора MH² = OH² + MO² = 9² + 12² = 81+144 = 225; MH = 15 см
4) Смотрим ∆ABM: S = a•h/2 = AB•MH/2 = 15•18/2 = 15•9 = 135 см²
Ответ: Площадь ∆ABM = 135 см² 
                                                                              

Для начала разберёмся, что у нас за построение.
На плоскости квадрат, длина стороны известна. Из его центра торчит перпендикуляр к этой плоскости. Как плот с мачтой. Между концом перпендикуляра и двумя из углов квадрата этаким парусом натянут треугольник, площадь которого мы ищем.
Площадь треугольника можно найти через длину стороны и высоту к ней. Сторона у нас есть - это сторона квадрата. Высота у нас ляжет из конца перпендикуляра (точка M) к середине этой самой стороны квадрата, которая AB. Потрясающе удобно, когда квадрат... Обозначим эту точку Z. Так вот. Представим, что у нас есть ещё один треугольник - ZOM. Очевидно, он прямоугольный (т.к. OM - перпендикуляр), а ещё мы знаем его катеты, OM из условий задачи, а OZ - из того, что O у нас - центр квадрата с известной стороной.
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Получаем гипотенузу, она же отрезок ZM: ZM^2 = OM^2 + OZ^2 = 12^2 + 9^2 = 225, ZM=15
Дальше дело техники. Площадь треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на неё из противоположного угла. S = 1/2 * AB * ZM, подставляем числа и видим 1/2 * 18 * 15 = 135 см квадратных.
Вроде ничего не напутал.

В данных задачах следует рассматривать более тщательно графические построения, соотношение сторон, каике геометрические фигуры входят в построение и какие формулы можно применить.
Таким образом решение данной задачи сводится к следующему:
1.Определяем высоту МН в треугольнике АВМ через теорему Пифагора, имеем:
МН =КОРЕНЬ из (MO^2+MH^2)=12^2+9^2�= 15м.
2.Площадь треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на неё из противоположного угла, тогда имеем:
S(АВМ) = 1/2 * AB * MН
Подставляем числовые данные, получим:
S(АВМ) = 1/2 *( 18 * 15) = 270/2= 135 (см^2)
Ответ:S(АВМ)= 135 (см^2)