Вычисляли его разные математики в разные века и в разных странах, а значение получалось примерно одинаковым и поэтому обозначили это число Пи.

Число Пи бесконечно, потому что является иррациональным числом, т.е. его нельзя выразить ввиде n1/n2, где n1 и n2 рациональные числа. А доказательства того, что этого нельзя сделать, можно посмотреть в википедии в статье "Доказательства иррациональности числа Пи". Там их очень много разных, и через интегралы, и через тангенс, и через синус. Ни одно из них сюда разместить не получится, поскольку очень уж формулы заковыристые.
                                                                              

Прежде чем ответить, немного порассуждаем над самим вопросом.
А как может быть бесконечно конкретное число? Да никак. Это абсурдный вопрос. Потому как конкретное число - это число, или точка на числовой прямой, если представлять числа в графическом виде.
По контексту, конечно понятно о чем спрашивается, но давайте перефразируем вопрос правильно.
При представлении числа π в виде десятичной дроби 3,1415... получим бесконечную дробь, почему?
И вот отвечая на такой вопрос будет понятен смысл.
Любое действительное число можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда это число рационально (то есть можно представить в виде m/n) и при несократимом представлении m/n, знаменатель n не содержит простых делителей кроме 2 или 5.
В данном случае, так как число  π - иррационально, то оно не удовлетворяет теореме описанной выше и следовательно не может быть представлено в виде конечной десятичной дроби. Значит будет представлено в виде бесконечной десятичной дроби.
(Иррациональность числа π - это довольно таки громоздкое доказательство, требующее определенных знаний высшей математики).

Для начала не могу не отметить некоторую небрежность в вопросе. Любое число конечно. В том числе и число пи. Бесконечно же в нём число знаков после запятой. Но и этого мало (любая дробь со знаменателем, среди множителей которого присутствуют не только 2 и 5, может быть представлена в виде бесконечной десятичной дроби) – оно мало того что "бесконечно", оно ещё и иррационально, то есть все эти десятичные знаки там не повторяются.
Так вот, иррациональность числа пи была в своё время – ещё в 1760 году - доказана математически. Первым такое доказательство нашёл немецкий математик Иоганн Ламберт, затем свои варианты, частью независимые, частью основанные на подходе И. Ламберта, но более простые, опубликовали Чарльз Эрмит, М, Картрайт, Н. Бурбаки,, М. Лацкович. С этими вариантами во всех их деталях можно ознакомиться вот тут.

Число пи действительно бесконечно. Попробуйте разделить 22/7 . Он выдаст вам множество чисел после запятой, но это не все. После какого-то числа , все числа :1, 4 и т. д начинаются заново, то есть повторяются  . Поэтому число пи бесконечно