Пусть вероятность выпадения орла при броске монетки — p.
Сколько в среднем необходимо произвести бросков до первого выпадения орла после броска монетки?

В данной задаче стоит вопрос подсчета математического ожидания выпадения орла.
Обозначим искомое математическое ожидание за М
Давайте посчитаем количество бросков. Так же не забываем, что броски будут независимы.
Сначала делаем 1 бросок. С вероятностью "p" выпадет орел. То есть 1 бросок будет сделан с вероятностью "p"
А с вероятностью "1-p" орел не выпадет. Но тогда нам снова придется бросать монету. А сколько раз в среднем? Ну естественно ещё M раз. То есть в этом случае мы вернулись в первоначальное состояние. И в итоге сделаем 1+M бросков с вероятностью "1-p"
Таким образом получаем M = 1•p + (1-p)•(M+1)
Решим уравнение относительно M
M - M(1-p) = p + 1 - p
M(1-1+p) = 1
M•p = 1
M = 1/p
Другое решение (по определению)
Составим таблицу случайной величины (выпадения орла при каждом броске и вероятность этой случайной величины)
Х | 1 |.. 2 .. | ... | n
P | p |(1-p)p| ... |(1-p)ⁿ⁻¹•p
Таким образом имеем геометрическую прогрессию
И Математическое ожидание M = Сумма(xᵢ•pᵢ) = 1/p
                                                                              

Думаю, через 1/p бросков.
Допустим p=1/2 (часто так и есть, но иногда монетка может выпасть и на ребро, называемое гурт).
Тогда нужно кинуть 2 раза, то есть 1/(1/2). Хотя это всё равно не гарантирует 100% выпадения монетки нужной стороной. Может так получиться, что не повезёт, и монетка раз 5 не так выпадет.
Если же монетку непрерывно бросать миллиарды раз, то орёл выпадет примерно половину раз, однако если рассмотреть отдельные временные промежутки этих бросаний, то может оказаться, что иногда получается, что монетка раз 50 подряд выпадет на одну и ту же сторону.
И чем больше бросков сделаешь, тем большие промежутки одностороннего бросания в них можно будет проследить.