Как решить Как представить 19 в виде суммы трёх простых чисел?.

Среди всех простых чисел 2 единственное четное простое число. Всё остальные простые числа нечетные. Если не считать число 2,то сумма двух простых чисел всегда четное число, а сумма трех простых чисел-нечётное число . В данном примере 2 из числа трех простых чисел дающих в сумме 19,тоже
исключаем.
19-2=17, то есть сумма двух простых чисел должна быть равна 17,что невозможно.
Поэтому представим пока число 19 как сумму простого числа и составного.
19=3+16
19=5+14
19=7+12
19=11+8
19=13+6.
А теперь составные числа представим как сумму двух простых :
16=3+13
16=5+11
14=7+7
14=3+11
12=5+7
8=3+5
6=3+3.
Комбинируем верхние и нижние варианты :
19=3+3+13
19=3+5+11
19=5+7+7
19=5+3+11
19=7+5+7
19=11+3+5
19=13+3+3
Убираем совпадения и получаем варианты:
19=3+3+13
19=3+5+11
19=5+7+7.
Итого - 3 варианта.

Число девятнадцать нечетное, следовательно задача имеет решение.
Выписываем простые числа, меньшие 19
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17
двойку убираем (как четное число) остаётся
3, 5, 7, 11, 13, 17
17 убираем (19-17=2 два - наименьшее простое число, в этом случае будет сумма только двух простых чисел)
Выбираем простые числа из списка
3, 5, 7, 11, 13
Решаем
Пробуем тройку
19-3=16
16=3+13 или 5+11
получили 2 решения
Пробуем 5
19-5=14= 7+7
Ответ
девятнадцать можно представить в виде суммы трёх простых чисел тремя различными способами:
3 + 3 + 13 = 193 + 5 + 11 = 195 + 7 + 7 =19

Семь плюс семь плюс пять. Одиннадцать плюс пять плюс три.

Немного добавлю по поводу интересного, но частного случая.
Если не требовать различности слагаемых (а в исходном вопросе этого и не требуется) и не требовать перечисления всех возможных разложений на три простых слагаемых, то общий "эвристический" способ решения такой и подобной ей задач (для нечётных чисел, а не только для числа 19) опирается на открытую проблему (гипотезу) -- считается, что любое чётное число можно представить суммой двух простых чисел. Понятно, что если из нечётного числа n вычесть простое число 3, то результат станет чётным. Теперь к нему, к числу n-3, можно применить вышеупомянутую [бинарную] гипотезу [Гольдбаха] -- должны существовать два простых числа m и k, такие, что m+k=n-3. Итак, после переноса -3 в левую часть, получаем искомое разложение n=3+m+k. N.B., числа 3, m и k в этом подходе не обязательно различны.
Современная формулировка гипотезы Гольдбаха неконструктивна -- алгоритм неизвестен. Но веря в справедливость этой гипотезы, мы можем применить визуальный трюк -- для "аддитивного разложения" числа g достаточно выписать целые числа от 0 до g включительно в ряд-последовательность, пометив простые числа. Например, для g=19-3=16:
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
(Я использую лишние нули для табличного выравнивания из-за технических дефектов этого сайта.)
Затем нужно "переломить" этот ряд пополам с дублированием элемента на месте "излома", сформировав таблицу (например записывая всё на клетчатой бумаге, каждое число в отдельной клетке):
00 01 02 03 04 05 06 07 08
16 15 14 13 12 11 10 09 08
(Раньше я называл такую конструкцию "числовым локатором", но это не очень удачное название не прижилось.)
И мы сразу же видим полностью выделенные столбцы-разложения: 03+13 и 05+11. Поэтому 19=3+3+13=3+5+11. Да это не все разложения нечётного числа на три простых слагаемых, а лишь те, которые содержат тройку.
Вместо "перелома" последовательности пополам, можно записать две последовательности во взаимно обратных направлениях:
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 00
И опять, выделенные столбцы дают искомые разложения.
Увы, для поиска всех разложений, в том числе разложений, не содержащих тройку, по-видимому, необходимо тупо перебирать все возможные варианты или вместо тройки поочередно вычитать все меньшие n простые числа (а потом уже пользоваться числовым локатором), или же должным образом обобщить предложенный визуальный хак на 3, а не 2 слагаемых.