Разрешается использовать все, то есть ставить числа в квадрат, умножать, дроби и т.д

Вообще не знаю, как можно алгоритмизировать эту задачу. Пишу просто самое короткое, что пришло в голову 2^(22/2)-22-2*2 или 2^(22/2)-22-2-2 Это 8 цифр. Есть еще  2222-2е2, если считать е операцию умножение числа на 10 в степени того числа, что справа. Это точно короче всего, если считать оператор е допустимым. Вот, например, калькулятор гугл понимает, что 2e2=200
                                                                              

Это задачи из области, когда практически нельзя доказать некую минимальность. Поэтому все сводится к тому, что кто то придумывает комбинацию из некого количества двоек. Далее стараются улучшить результат, но однозначно сказать, что это минимальный набор затруднительно.
Хотя конечно теоретически это можно доказать. Для этого надо взять набор всех возможных операций и например перебором доказывать невозможность для определенного числа двоек получить результат.
Начиная с 1 двойки: очевидно что не получим конечный результат
Потом две двойки: перебрав все операции между ними, тоже не достигнем результата.
Значит минимум ≥ 3
И так далее. Правда у всех разный "известный" набор операций может получится. И количество вариантов для перебора будет значительно возрастать с каждым шагом.
Поэтому вернемся к варианту улучшения предыдущих ответов. У меня получилось несколько вариантов на 8 двоек. Но такое количество есть уже у extatic
Попробую улучшить его ответ:
2²²⁄² - (22+2+2) = 2022 (= 2048 - 26)
Я заменю 22+2+2 = 26 состоящее из четырех двоек, на 26 составленную из трех двоек
26 = 24+2 = 4!+2 = (2²)! + 2
Итак получилось 7 двоек:
2²²⁄² - (2²)! - 2 = 2022
Конечно я приветствую ответ extatic по поводу 6 двоек со стандартной записью числа
"2222-2е2", хотя тут есть одна ремарка. Все же не надо уподабливаться калькуляторам. А следовать математической культуре. И буква "Е" должна быть заглавной, так как прописная "е" - это число е ≈ 2.718....
А вот в стандартной записи числа k Еn означает k•10ⁿ, где n - целое, 1≤|k|<10
Поэтому правильней написать:
"2222 - 2E2", что означает: 2222 - 2•10² = 2222 - 200 = 2022

Если под двойкой понимать число 2, а не цифру, то, используя возведение в степень ("^"), умножение("*"), деление("/") сложение("+"), вычитание("-") и скобки, можно получить выражение из тринадцати двоек:
2022=(2^2^2^2*2*2-2^2^2+2+2/2)*2

2222-222+22=2022
2022=(22*2) ^2+22*(2^2)-2
Вот еще хороший вариант из девяти двоек:. 2022=22*2*2(22+2/2)-2
Что-то все варианты из девяти двоек получились.
(22+2+2/2)^2 - 2- 2/2=2022--вот и этот тоже из девяти цифр
2022=(2+2/2)*((22+2*�2)^2-2)--черт, и этот из 9 цифр. колдовство какое-то.
А вот из 8 цифр :
2022=2^(22/2)-22-2-2

Напишите римским цифрами) там крестики, галочки, палочки, никаких двоек)