Банк выдаёт кредиты только под 20% годовых при условии погашения кредита ежегодными равными  платежами (кредиты с аннуитетными платежами). Предприниматель взял в кредит некую сумму S на целое число лет. Через некоторое целое число лет после исполнения очередного платежа он  обнаружил, что уже выплатил банку сумму, большую S. При этом сумма оставшихся причитающихся платежей также больше S. Найдите минимальный срок, на который предприниматель мог взять кредит.

Предприниматель взял в кредит сумму S на целое число лет n под 20% годовых
кредит погашается ежегодными равными платежами - Х рублей / в год
через k лет он обнаружил, что уже выплатил банку сумму, большую S, следовательно:
k*Х > S или k > S/Х
При этом сумма оставшихся причитающихся платежей также больше S, т.е:
(n-k)*Х > S или n-k > S/Х
сложим два указанных неравенства, получаем:
n > 2*S/Х
вспоминаем, что кредит должен быть полностью погашен за n лет, следовательно:
S = Х*(q + q^2 + ... + q^n) = Х*q*(q^n-1)/(q-1)  (где q = 1/1.2)
значит
S / Х = 1/1.2*(q^n-1)/(1/1.2-1) = 1/0,2*(1-q^n) = 5*(1-q^n)
т.е получаем неравенство:
n > 2*5*(1-q^n) = 10*(1-q^n)
будем последовательно подставлять в данное неравенство натуральные n, пока не найдем минимальное натуральное n, удовлетворяющее неравенству:
n=1; 10*(1-q^n)=1,666666667
n=2; 10*(1-q^n)=3,055555556
n=3; 10*(1-q^n)=4,212962963
n=4; 10*(1-q^n)=5,177469136
n=5; 10*(1-q^n)=5,98122428
n=6; 10*(1-q^n)=6,651020233
n=7; 10*(1-q^n)=7,209183528
n=8; 10*(1-q^n)=7,674319606
ответ:
минимальный срок, на который предприниматель мог взять кредит - 8 лет