Дан квадрат ABCD и прямоугольник EFGH. Причём точки E, F, H лежат на отрезках AB, CD, DA соответственно (см. рис.). Известно, что GF=6 и точка E – середина отрезка AB. Найдите площадь прямоугольника EFGH.

В далёком 1982-м при поступлении в ТРТИ (ныне ЮФУ) мне на устном экзамене по математике попалось доказательство того, что сумма углов в треугольнике равна 180°. А я каким-то образом не помнил доказательства - в старших классах больше «выезжал» на способностях, нежели на усидчивости и трудолюбии. В итоге половина знаний пролетала мимо. Теперь приходится навёрстывать. Но не все темы усваиваются легко. Иные, только посмотрят на картину, и сразу приступают к обсуждению подобия треугольников. Я же при виде этой задачи перепробовал кучу вариантов, пока не пришёл к простому решению. Но в любом случае, как обычно, я предлагаю свою картинку, которая поможет нам избавиться от всех неясностей. Итак:
Как я уже сказал, времени было потрачено предостаточно и в ходе размышлений я успел обозначить маленькими латинскими буквами все возможные отрезки, которые образовались при пересечении вершин и сторон квадрата и прямоугольника. При этом были замечены две очевидные ситуации:
Если EFGH является прямоугольником, то непременно равны его противоположные стороны: l = j и i = m и тогда m = 6;Если точка E располагается в середине нижней стороны квадрата, то f = e = d/2;Если из точки F опустить вертикаль (линию, которая параллельна стороне CB) в точку P, мы получим треугольник ∆EFP, который явно подобен трём другим. Но главное, что он подобен ∆AEH;Если d вдвое больше f, тогда и j = 2*m = 2*6 = 12.А дальше и думать-то особо не над чем - площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, которые нам теперь известны - 6 и 12. В итоге произведение выглядит следующим образом:
S = i * j = 6 * 12 = 72Лично я для себя сделал вывод - разбираться в подобии треугольников не только полезно, но и очень полезно. Не пренебрегайте этой темой, если хотите щёлкать на раз геометрические «орешки». Удачи на дорогах!