На доске записаны числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них частное от деления их произведения на их сумму.
Это действие проделывается, пока на доске не останется одно число.
Какое наибольшее число может получиться?

Для кого-то вопрос, конечно, смешной и ответ напрашивается сам собой. И как он получается для таких людей понятно с, скажем так, полувзгляда. А остальным же предлагаю следующее решение.
Товарищ FEBUS прав: существует общее решение для любой последовательности чисел. Поэтому с этого общего решения и начнем.
Обозначим через а1, а2 и так далее до аК все наши числа. Причем, число будет обозначать не порядковый номер числа в предлагаемом ряду, а порядок их "стирания с доски".
Шаг 1. Стираем а1 и а2 и вместо них записываем в1=(а1*а2)/(а1+а2).
Шаг 2. Тут два варианта: либо "стираем" изначально записанные числа а3 и а4, либо "стираем" вновь полученное число в1 и а3.
Шаг 2.1. В первом случае получаем число, аналогичное тому, что получилось в шаге 1: в2=(а3*а4)/(а3+а4).
Шаг 2.2. В этом случае результат будет несколько другим:
в21=(в1*а3)/(в1+а3)={[(а1*а2)/(а1+а2)]*а3}/{[(а1*а2)/(а1+а2)]+а3}=[(а1*а2*а3)/(а�1+а2)]/[(а1*а2+а1*а3+а2*а3)/(а1+а2)]= (а1*а2*а3)/(а1*а2+а1*а3+а2*а3).
Шаг 3. Количество вариантов растет: можно продолжать "стирать" первоначальные числа (а5 и а6), можно одно из "новых" и одно "старое", а можно и два "новых". Шаг 3.1. Первый вариант понятен и мы его пропустим.
шаг 3.2. "Стираем" одно "новое" и одно "старое" число. Тут опять два варианта: либо в1 (или в2 - они аналогичны) и а5, либо в21 и а4.
Шаг 3.2.1. в321=(в1*а5)/(в1+а5)={[(а1*а2)/(а1+а2)]*а5}/{[(а1*а2)/(а1+а2)]+а5}={[(а1*а2*а5)/�/(a1+a2)]/[(а1*а2+а1*а5+а2*а5)/(а1+а2)]= (а1*а2*а5)/(а1*а2+а1*а5+а2*а5).
Шаг 3.2.2. в322=(в21*а4)/(в21+а4)={[(а1*а2*а3)/(а1*а2+а1*а3+а2*а3)]*а4}/{[(а1*а2*а3)/(а1*а2�+а1*а3+а2*а3)]+а4}= [(а1*а2*а3*а4)/(а1*а2+а1*а3+а2*а3)]/[(а1*а2*а3+а1*а2*а4+а1*а3*а4+а2*а3*а4)/(а1*а�2+а1*а3+а2*а3)]= (а1*а2*а3*а4)/(а1*а2*а3+а1*а2*а4+а1*а3*а4+а2*а3*а4).
Как нетрудно заметить, в числителе (в любом из вариантов) получается произведение всех чисел, которые мы "стерли". А в знаменателе, скажем так (может в математике у такой комбинации и есть свое название, но я не математик), "сумма неполных произведений" этих же чисел: это когда каждое слагаемое равно произведению всех задействованных чисел, кроме (последовательно) одного.
Дальнейшие шаги будут приводить к тому же результату и, в итоге, получим в числителе произведение всех К чисел, а в знаменателе -  "сумму неполных произведений". Если произвести преобразование (как нас в школе учили: разделить числитель и знаменатель на одно и то же число - в нашем случае на произведение всех К чисел), то получим результат:
А=1/(1/а1+1/а2+...+1/аК) или (как верно заметил FEBUS) 1/А=1/а1+1/а2+...+1/аК.
Переходя от общего к частному (нашему примеру) получаем:
А=1/(1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128)=128/(128+64+32+16+8+4+2+1)=128/255.
Ответ: наибольшее число, которое может получиться в результате предлагаемых операций равно 128/255 (оно же и наименьшее, т.к., как бы мы ни "стирали" числа, ответ будет один).
                                                                              

Действительно не имеет значения в какой последовательности "вытирать" числа. В этом легко убедиться на последовательности из трех членов.
Но чтобы выполнить расчет компьютерным способом нужно ввести некоторую закономерность. Возьмем первый и последний член ряда. При действии с ними, результат всегда будет меньше 1. Это значит что полученное число может занять первое место во вновь сформированном ряде. Далее процедуру можно повторить между полученным числом и членом ряда (n-1). Выглядеть это будет следующим образом.
 В общем виде это можно записать следующим образом.
Где 28 есть сумма всех степеней ряда числа 2
Получим такую формулу, где "к" сумма всех степеней ряда.
Учитывая возможность сокращения дроби:
Расчетная величина примет окончательный вид.
Но если хорошо подумать, то можно привести эту формулу к вообще простому виду.
Где требуемая дробь а/в будет иметь значение а=2^(n-1); в=2^(n)-1
Дальнейший расчет выполнен как проверочный.
Вычислим наибольший общий делитель числителя и знаменателя и приведем выражение к красивой дроби.
Произведенный расчет позволяет варьировать длиной ряда, а также величиной подстепенного числа. При увеличении длины ряда при подстепенной величине равной двум, полученный результат будет стремиться к 1/2. При троечке к 2/3, при четырех к 3/4, при пяти к 4/5. Несложно в этих числах увидеть закономерность.
Ссылка на расчет.

Результат такой процедуры для чисел A1, A2, ... , Ak, есть число A такое, что
1/A = 1/A1 + 1/A2 + ... + 1/Ak.