Даны четыре правильных треугольника ABC, FGH, KIH, HLJ (см. рис.). В треугольник ABC вписана окружность ω. Точки F, G, I, J лежат на окружности ω. Точки F, H, J лежат на одной прямой. Точки K и L лежат на отрезках GH и HI соответственно. Найдите значение выражения S(ABC)/(S(FGH)+S(KIH�)+S(HLJ)), где S(Ф) – площадь треугольника Ф.

рассмотрим сначала 3 правильных (равносторонних) треугольника ∆FGH, ∆KIH, ∆HLJ, расположенные внутри окружности, как указано в задании
1.для наглядности, введем следующие обозначения:
а - сторона треугольника ∆FGH
b - сторона треугольника ∆HLJ
c - сторона треугольника ∆KIH
r - радиус окружности
2.проведем срединный перпендикуляр к хорде FG - очевидно, что перпендикуляр будет проходить через центр окружности О, а также через вершину H
построим продолжение отрезка HI до пересечения с противоположной стороной окружности в точке Х, получаем:
∠OHI = 60° + 30° = 90°
следовательно: ХH = HI = с
рассмотрим 2 пересекающиеся хорды: FJ и XI, по свойству о произведении отрезков хорд, получаем:
ХH * HI = FH * HJ
подставляем в данное выражение обозначения из п.1, получаем:
c² = ab
3.рассмотрим ∆GHJ
∠GHJ = 60° + 60° = 120°
по теореме косинусов, получаем:
GJ² = GH² + HJ² - 2*GH*HJ*cos(120°) = a² + b² + ab
подставляем в данное выражение c² = ab, получаем:
GJ² = a² + b² + с²
3.рассмотрим ∆GOJ
по формуле о соотношении величин центрального и вписанного углов, опирающихся на одну и ту же хорду:
∠GOJ = 2 *∠GFJ = 2 * 60° = 120°
по теореме косинусов, получаем:
GJ² = r² + r² - 2*r*r*cos(120°) = 3r²
следовательно:
a² + b² + с² = 3r²
4.по формуле площади равностороннего треугольника:
S(∆FGH) + S(∆KIH�) + S(∆HLJ) = √3/4*(a² + b² + с²) = √3/4 * 3r² = 3√3/4*r²
площадь S(∆ABC) = √3/4*AB²
при этом r = 1/3*√3/2*AB = 1/(2√3)*AB
АВ = 2√3*r
площадь S(∆ABC) = √3/4*12*r² = 3√3*r²
ответ:
S(∆ABC) / (S(∆FGH) + S(∆KIH�) + S(∆HLJ)) = 3√3*r² / (3√3/4*r²) = 4