На числовой оси отмечена точка Х. Покажите как с помощью циркуля и линейки отметить последовательно точки X², X³, X⁴ ... Xⁿ.

Вот как построить x^2.
От точки 1 откладываем перпендикулярно отрезок x, получаем точку A.
Соединяем A с 0. Перпендикулярно к этому отрезку проводим линию до оси, получаем точку B.
Обозначим боковые стороны a и b, а отрезок от 1 до B обозначим c.
По теореме Пифагора:
a^2 = x^2 + 1
b^2 = x^2 + c^2
a^2 + b^2 = (c+1)^2
Подставляем 1 и 2 уравнения в 3 уравнение.
x^2 + 1 + x^2 + c^2 = c^2 + 2c + 1
2x^2 + c^2 + 1 = c^2 + 2c + 1
2x^2 = 2c
x^2 = c
Таким образом, отрезок от 1 до точки B равен x^2.
Смотрите верхний рисунок.
Если построить такой же треугольник, но не от 1, а от x, и взять высоту x^2, то мы получим отрезок, равный x^3.
Точно также, по теореме Пифагора:
a^2 = x^2 + x^4
b^2 = x^4 + c^2
a^2 + b^2 = (x+c)^2
Подставляем 1 и 2 уравнения в 3 уравнение
x^2 + x^4 + x^4 + c^2 = x^2 + 2xc + c^2
x^2 + 2x^4 + c^2 = x^2 + 2cx + c^2
2x^4 = 2cx
x^3 = c
Таким образом, отрезок от x до точки B равен x^3.
Смотрите нижний рисунок.
Действуя точно также, можно получить отрезок x^4, x^5 и в любой степени.
                                                                              

Как найти точку X² я описал в ответе на вопрос: «Как с помощью циркуля и линейки найти точку X²?».
После того как на числовой прямой отметили точку X² (красный цвет), соединяем точку В с точкой X² и проводим линию от точки А, параллельно ВX², до пересечения с числовой прямой (синий цвет). Точка пересечения равна X³.
Далее соединяем точку В с точкой X³ и проводим линию от точки А, параллельно ВX³, до пересечения с числовой прямой (зелёный цвет). Точка пересечения равна X⁴.
И так продолжаем до Xⁿ