Сколько в половине содержится:
а) четвертей;
б) восьмых;
в) десятых; 
г) сотых

Половина это 1/2 часть целого. Следовательно, чтобы получить количество четвертей, да и вообще любых долей целого в половине, нужно количество долей целого разделить на 2.
Поэтому получается, что в половине содержится
а) две четверти
б) четыре восьмых
в) пять десятых
г) пятьдесят сотых
                                                                              

Все очень просто. Половина - это 1/2. Водном целом две половинки. Именно это и является важным условием. Теперь давайте разберемся.
В 1 целой 4 четверти, а в половине их всего две.
В 1 целой 8 восьмых, но у нас половина, а значит делим на 2, получаем четыре (в половине четыре восьмых).
В 1 целой 10 десятых, у нас опять половина, значит делим на 2. В половине пять десятых.
В 1 целой 100 сотых, у нас всего половина, значит в половине 50 сотых.
Чтобы найти сколько в половине, мы должны разделить на 2, так как половина, это целое разделенное на 2.
А если брать половину, как целое, тогда в нем будет 4 четвертей, 8 восьмых, 10 десятых и 100 сотых.

Когда-то на лекциях по философии проходили одну тему: половина половины. Это к примеру, прошел половину пути, другая половина осталась. Прошел половину оставшейся половины, потом ещё и ещё. То есть половина оставшегося сама становится полноценной целой единицей.
Если взять это философское, то тогда в половине есть ещё одна половина. 1/2 оставшегося равно 1/2-й. И: 4 четверти, 8 восьмых, 10 десятых, 100 сотых.

В половине содержится только половина долей, это в два раза меньше чем в целой части.  Соответственно количество долей делим на 2:
а) четвертей - две,
б) восьмых - четыре,
в) десятых - пять,
г) сотых - пятьдесят.