Докажите, что для всех действительных чисел x ≠ -1, y ≠ -1 таких, что xy = 1 справедливо неравенство:

Имеем неравенство:
(( 2 + х ) / ( 1 + х ))² +  (( 2 +  y ) / ( 1 + y ))² ≥ 9 / 2
так как ( 1 + х )²  > 0  и ( 1 + y )² > 0
Домножим неравенство на ( 1 + х )² • ( 1 + y )², получим:
(( 2 + х ) • ( 1 + y ))² +  (( 2 +  y ) • ( 1 + х ))² ≥ 9 • ( 1 + х )² • ( 1 + y )²/ 2
перемножим скобки
( 2 + 2y  + x + xy )² +  ( 2 +  y  + 2x + хy )² ≥ 9 • (1 + х + y + xy)² / 2
или заменив x • y = 1
( 3 + 2y  + x )² +  ( 3 +  y  + 2x )² ≥ 9 • ( 2 + х + y )²/ 2
Возведем в квадрат скобки
(9 + 4y² + x² + 12y + 6x + 4xy) + (9 + y² + 4x² + 6y + 12x + 4xy) ≥ 9 • (4 + x² + y² + 4x + 4y + 2xy) / 2
Домножим на 2 обе части, раскроем скобки и приведем подобные
36 + 10y² + 10x² + 36y + 36x + 16xy ≥ 36 + 9x² + 9y² + 36x + 36y + 18xy
Перенесем все в левую часть, заменим xy = 1 и приведем подобные
-2 + y² + x²  ≥ 0
заменим y = 1/x
х² + 1/х² - 2 ≥ 0
Так как xy = 1, то х≠0
Домножим на х² > 0
x⁴ - 2x² + 1 ≥ 0
имеем
(х² - 1)² ≥ 0
В действительности квадрат числа будет больше или равен нулю, при любых определенных х
Таким образом в результате эквивалентных преобразований получили истинное неравенство.
Доказано.
                                                                              

((2 + х) / (1 + х))² + ((2 + y) / (1 + y))² ≥ 9/2
подставив в данное неравенство, выражение у = 1/х, получаем:
(т.к по условию задачи xy = 1, то получается, что заведомо x ≠ 0, соответственно никаких "подводных камней" мы не получим)
((2 + х) / (1 + х))² + ((2х + 1) / (1 + х))² ≥ 9/2
домножим обе части неравенства на (1 + х)²
неравенство от этого "не пострадает", т.к заведомо (1 + х)² > 0 (ведь по условию задачи x ≠ -1)
получаем:
(2 + х)² + (2х + 1)² ≥ 9/2*(1 + х)²
2*(х² + 4х + 4 + 4х² + 4х + 1) ≥ 9*(х² + 2х + 1)
10х² + 16х + 10 ≥ 18х² + 18х + 9
х² - 2х + 1 ≥ 0
(х - 1)² ≥ 0
что и требовалось доказать