Есть 10 человек, сидящих за столом, пять с одной стороны и пять с противоположной стороны. Есть 3 супружеские пары. Каждая супружеская пара хочет сидеть лицом к лицу на противоположных сторонах. Сколькими способами это можно сделать?

1) Пара. Представлю круг как часы. Только 10 чисел, а не 12. Стрелки всегда вытянуты в одну линию. Кручу время (стрелки часов). Маленькая "ж", большая "м". Начну с единицы: 1ж и 6м. 2ж и 7м. 3ж и 8м. 4ж и 9м. 5ж и 10м. 6ж и 1м. 7ж и 2м. 8ж и 3м. 9ж и 4м. 10ж и 5м. То есть 10 вариантов.
2) Пара. Теперь надо отнять первую пару. 10 - 2 = 8 человек. Не забываю, что у первой пары 10 вариантов.  В первом варианте первая пара заняла 1-е и 6-е место. Начну со второго места: 2ж и 7м. 3ж и 8м. 4ж и 9м. 5ж и 10м. 6ж и 1м. 7ж и 2м. 8ж и 3м. 9ж и 4м.
Вышло всего 8 вариантов. Итог: 8*10 = 80 вариантов.
3) Пара. Теперь надо отнять ещё и вторую пару. 10 - 2 - 2 = 6. Не забываю, что у первой и второй пары 80 вариантов. В первом варианте первая пара заняла 1-е и 6-е места, а во втором варианте вторая пара заняла 2-е и 7-е места. Начну с третьего места: 3ж и 8м. 4ж и 9м. 5ж и 10м. 6ж и 1м. 7ж и 2м. 8ж и 3м.
Вышло всего 6 вариантов. Итог: 80*6 = 480 вариантов.
Мой ответ: 480 способами можно сделать так, чтобы каждая супружеская пара могла сидеть лицом к лицу на противоположных сторонах.
                                                                              

В данном случае следует рассматривать по порядку. И лучше считать сразу парами.
Поскольку пять мест с одной стороны и пять с другой, то у первой супружеской пары варианты: 1 Сесть на первые места напротив друг друга, 2 сесть на вторые места напротив друг друга и т.д. И так 5 вариантов. Но каждый вариант имеет 2 возможности. Первая на одной стороне супруг, а на второй супруга. И вторая возможность, наоборот, на 1 стороне супруга, а на второй стороне супруг.
Таким образом для 1-й пары будет 5•2 = 10 Вариантов.
Для каждого такого варианта для второй пары останется 8 мест (четыре по 2) и соответсвенно, аналогично рассуждая, как и для 1-й пары, получим 8 вариантов
Аналогично для 3-й пары 6 вариантов
И общее количество вариантов будет: 10•8•6 = 480
Ответ: 480 способов

Довольно простая задача по математике если точнее в комбинаторике.
У нас с вами 10 мест значит для первой пары есть 5 (пять) мест где они могут сесть, но они еще могут поменяться местами и получается что у них 10 (десять) вариантов на выбор (5*2=10);
У второй пары на 2 варианта меньше (4*2=8); 
А у тертей пары еще на 2 места меньше (3*2=6);
Если сложить все варианты получается нужно 10*8*6 и получается 480 (четыреста восемьдесят) варианта как они могут сесть.

Примитивно до безобразия...
Пустите за стол первую супружескую пару. у неё есть 5 вариантов для "посадки".
У второй пары останется уже только 4 варианта.
У третьей - только 3.
Получается, что всего вариантов есть
5 х 4 х 3
Ну а ежели желаете-с в терминах комбинаторики - школьный учебник вам в руки, извините-с...