На доске в первой строке написано два последовательных натуральных числа n и n+1, а во второй — по одному разу те и только те натуральные числа, которые являются делителями какого‐либо числа  из первой строки. Например, если в  первой строке написаны числа 3 и 4, то во второй строке написаны числа 1, 2, 3 и 4. 
А) Может ли во второй строке быть написано ровно 6 чисел? 
Б) Может ли во второй строке быть написано ровно 4 числа, если n>4?
В) Сколько существует таких чисел n<2000 , для которых во второй строке написано
чётное количество чисел?

Для решения задачи вспомним сразу несколько свойств.
1) Два последовательных числа взаимно-просты. То есть у них нет общих делителей кроме 1.
2) Каждое число имеет чётное число делителей (число на которое делим и в пару ему частное от деления), исключением будут числа являющиеся квадратом некоего числа, так как там один из делителей равен частному и его запишем 1 раз.
Таким образом получаем, что у двух последовательных чисел будет нечетное число делителей, если одно из них не является квадратом числа.
Ну а теперь решаем А)
Делителей должно быть 6 - чётное число.
То есть одно число должно быть квадратом
Например 9 = 3² имеет делители 1; 3; 9
Следующее за ним число 10 имеет делители 2; 5; 10 (единицу уже считали)
Итого 6 чисел во второй строке
Ответ: да, может.
Решаем Б)
Делителей 4 - чётное число. Значит одно из чисел будет квадратом. n = k²
Квадрат числа будет иметь минимум три делителя 1; k и n=k², тогда другое число должно иметь только 1 делитель, кроме единицы. А значит другое число простое. и так как n>4, то  это простое нечётное число, а значит n - чётное число. Следовательно и k - чётное число, то есть k = 2m и n = 2²•m², при этом m ≠ 1, так как n>4, а значит у n будет больше 3 делителей: 1; 2; 4; n Итого у двух чисел будет больше 4 делителей
Ответ: 4 числа быть не может
Решаем В)
Как заметили изначально удовлетворяющие данному условию пары будут где одно из чисел квадрат. сколько же будет таких чисел? n=k²<2000; k < √2000
k < 20√5  или k < 45, то есть k от 1 до 44 включительно
Следует заметить, что каждое n=k² является участником двух пар {n-1; n} {n; n+1}, коме n=1 - это число участвует только в 1 паре.
Итого получаем 44•2 - 1 = 87 таких пар. То есть 87 чисел n
Ответ: 87 чисел.
                                                                              

А) Может, 8 и 9
Во второй строке будут:
1,2,3,4,8,9
Б) нет, не может,
Одно число п -пусть нечётное ,да даже и простое, имеет делители 1 и п .Тогда (п+1) четное и имеет делители 2 и (п+1) и (п+1)/2, то есть будет минимум 5 делителей у пары (п, п+1)
В) Рассуждаем:
1)это пара 1 и 2,п=1
2)п=3,то есть пара 3 и 4
3) Нечётное количество делителей имеют только квадраты и другие четные степени чисел(ну, которые помещаются в промежуток от 1 до 2000)
Это 1,
2^2=4;.
2^4=16.
2^6=128.
2^8=512
3^2=9
3^4=81.
3^6=729.
4 не рассматриваем, уже есть в двойках
5^2=25
5^4=625.
6^2=36.( делители 1,36,2,18,3,12,4,9,6)
6^4=1296
7^2=49.
8 тоже нерассматриваем, есть в двойках
И 9 тоже нет
10^2=100.
11^2=121.
12^2=144.
13^2=169.
14^2=196.
15^2=225
16^2-не рассматриваем.
17^2, и так до 44^2.
Далее, просто проверка чисел по количеству делителей
18^2=324(1,324,2,162,3,108,4,81,6,54,9,36, 18).
20^2=400(1,500,2,200,4,100,5,80,10,40,16,25,20,).
21^2=441(1,441,3,147,7,63,
21)
Ответ:46 чисел(ну, если не попутал)