Число a — корень уравнения x¹³+x⁸+x³=1.
Укажите все натуральные значения n, при которых выполняется равенство a⁵+a³=an+1.

Так как число а является корнем уравнения x¹³+x⁸+x³=1, то верно и равенство: а¹³+а⁸+а³=1. Добавим a⁵ в обе части равенства, преобразуем и получим: a⁵+a³=1-а¹³-а⁸+a⁵. После преобразования получим a⁵+a³=а(-а¹2-а7+a4)+1 (а в 12, а в 7 и а в 4 степени). Выражение в скобках и есть искомое натуральное число n. При n=1 равенство верное (а=1). Но при других п равенство неверно.
Ответ: п=1.